ОСНОВИ НА ТЕОРИЯТА ЗА ПОДОБЕНИЕТО
Теорията на подобието е изследване на подобни явления. Това ни позволява да направим редица общи заключения от анализа на диференциалните уравнения и условията за уникалност, без да прибягваме до интегриране.
Терминът "сходство" е заимстван от геометрията. Както знаете, геометричните фигури с еднаква форма са подобни, ако съответните ъгли са равни и еднаквите страни са пропорционални. Тогава можем да напишемx"/x' = y"/y' =Z"/Z'=Г//' = C, където x, y,Z, Iса координатите на подобни точки или подобни сегменти. В този случай C се нарича константа на геометрична прилика.
Концепцията за подобие може да се разшири до всяко физическо явление. Въпреки товафизичните явления могат да се считат за сходни, ако принадлежат към класа явления от едно и също естество.Такива явления се описват аналитичночрез същите уравненияпо форма и съдържание. На тази основа например се разграничават кинематично подобни процеси, ако движенията на флуидните потоци са подобни. Динамично подобие означава подобие на силовите полета. Термичното сходство означава сходството на температурните полета и топлинните потоци. Задължителна предпоставка за физическо сходство е геометричното сходство.
За такива явления е задължително и сходството на всички съществени величини. В този случай могат да се сравняват само хомогенни величини (с едно и също измерение и същото физическо значение) в подобни точки в пространството и в подобни моменти от времето. Подобни точки са точки, които отговарят на условието за геометрично подобие Г/1' = С,. Тогава, например, в случай на кинематично подобие имаме подобие на полетата на скоростта и равенствотоW"/W'I=Cw. В случай на динамично подобие,p'[/p=Cp.В случай на топлинно подобие, подобието на температурните полетаT'L/T'I—С,.
Стойностиконстанти на сходство Споказват колко пъти физическите величини на една система (явление) се различават от същата величина на друга система (явление). Константи на подобиеCw, СриС,За подобни системи запазвайте една и съща стойностCw=idem, Ср = idem и С, = idem в подобни моменти от време. Два времеви интервалаx"и t' се наричат подобни, ако имат общ произход и са свързани с равенствотоx - /x[ = Cx= idem.
За явления, чиято физическа природа е сложна и се определя от много параметри, константите на подобие на тези параметри са в определени взаимоотношения една с друга и не могат да бъдат избрани произволно. В този случай, в допълнение към постоянството на съотношенията на хомогенни количества, има допълнителни условия. Нека разгледаме тези условия на конкретни примери.
Нека напишем уравненията на енергията (2.22) и движението (2.35) на несвиваем флуид, като приемем, че величинитеa, c, p,v остават постоянни.
Уравнението на движението в проекцията върху оста
И съответно за втората система:
nr+ w = T7Dx dx dy dz
В съответствие с второто условие за подобие, еднородните количества трябва да бъдат подобни, т.е.
Изразяваме променливите на втората система чрез променливите на първата и ги заместваме в уравнения (b). С такава замяна уравненията на втората система ще бъдат получени в следната форма:
Уравнения (2.43)-(2.45) са желаните условия за подобие, които ограничават произволен избор на константи на подобие. Разглеждайки членовете на връзката (2.43) по двойки, получаваме
-Jl. — __JLJ_5 или=1; (2,46)
Или r Cf;r - 1. (2.48)
От отношение (2.44)
Или (2.49) Cm C/'Ci
-^=C9SRSE, или 1; (2,50)
■SJ—ако- или m^r=1;(2,51)
От граничните условия (2.45) получаваме равенството
Заместваме стойностите на константите на подобие в уравнения (2.44) - (2.53), групираме всички количества по индекси и получаваме условията за подобие на две системи в нов израз:
A'X' y"X" yX 17 - l n ^
Jj2y = Jj2y> или -2-=Fo=idem; (2.54) w'/' vv'7"Wl
- = - или - = Pe = същото; (2.55)A a a
-^ или __ - Ho = същото; (2,57)
Или 2 = същото; (2,58)
Или -------- j-= Eu = idem; (2,59)
—— =—— или —= Re = същото; (2,60)
Или - =Nu=idem. (2,61)
Уравнения (2.54) - (2.61) илюстрират основното свойство на системите, подобни една на друга - съществуването на специални комплекси от нехомогенни величини, нареченикритерии за подобиеКритериите за подобие за всички сходни процеси запазват една и съща числена стойност. Нулевото измерение е основното свойство на критериите за подобие.
Критериите за сходство обикновено са кръстени на видни учени. Така критерият Fo се нарича критерий на Фурие, Re е критерият на Пекле, Po е критерият на Померанцев, Eu е критерият на Ойлер, Re е критерият на Рейнолдс и Nu е критерият на Нуселт.
Ако някаква система от основни уравнения съдържаJкритерииK,тогава, очевидно, условията = idem,K2
idem,= idem са еквивалентни на условията Ki/Kj = idem, K2/Kj = idem и т.н. От това следва, че критериите за сходство могат да се комбинират и могат да се получат нови критерии за сходство. Така критерият на Прандтл (Pr) може да бъде получен като Pe/Re =(Wl/A):(Wl/V) —V/A= Pr; Pr =V/A.Друг важен критерий се получава, ако в комплекса (2.58) чрез умножаване по Re2 елиминираме скоростта:(GP&L/W2)Re2 =e30/3/v2 = Gr. Полученият критерий се нарича критерий на Грасхоф Gr =G$§P/V2.
критерии за сходствоможе да се получи за всяко явление, за което има аналитична връзка между променливите на изследваното явление. Физическият смисъл на критериите следва от тяхната нотация, както и от изходните уравнения, от които са получени.
Критериите Fo, Re, Po са критерии за термично сходство, а критериите Eu и Re са критерии за хидромеханично сходство.
Критерий на ФуриеFo =(ax)/12има значението на обобщено време. Затова се нарича число на термична хомохрония (хомогенност във времето; ако отношението(12/а)е еднакво за две системи, то за тях хомохронизмът преминава в синхронизъм). Критерият Fo характеризира връзката между скоростта на изменение на температурното поле, физическите свойства и размерите на тялото.
Критерият на ПомеранцевРo има значението на обобщения интензитет на вътрешните източници на топлина в нестационарно температурно поле. Критерият Po характеризира съотношението на количеството топлина, отделена за единица време в обем от 1 m2-1, към максимално възможното количество топлина, пренесена чрез топлопроводимост през единица повърхност от 1 m2 с дебелина на стената I.
Критерий на ПеклеPe =Wl/Aе мярка за съотношението на конвективния и молекулярния пренос на топлина в поток.
Критерий за хидродинамична хомохронностНо характеризира скоростта на изменение на полето на скоростта на потока на средата във времето (ускорение на полето w).
Критерият на ГрасхофGr =G$&L3/V2е мярка за съотношението на силата на повдигане, дължаща се на разликата в плътностите на течността към силата на вискозно триене.
Критерий на ОйлерEu = p/(pvv2) характеризира сходството на полетата на налягането и е мярка за съотношението на силите на натиск и инерционните сили или, с други думи, съотношението на спада на статичното налягане в потока на течността къмдинамично налягане.
Критерий на РейнолдсRe = (wl)/v характеризира хидродинамичния режим на потока, като е мярка за съотношението на инерционните сили и силите на вискозно триене.
Критерий на ПрандтлPr=V/Aе мярка за сходството на полетата на температурата и скоростта в потока: при Рg = 1 и град р = 0, полетата на температурата и скоростта са подобни:Dt/Dx=AV2TиDw/Dx = vV2w, Prand tl критерият се състои от физически параметри, следователно той сам по себе си е физически
Чешки параметър. За вискозни течности Pr > 1 и силно зависи от
Температурата на газовете зависи малко от температурата и за даден газ се определя от неговата атомност. В съответствие с кинетичната теория на газовете стойността на Pg е: за едноатомни газове - 0,67, за двуатомни газове - 0,72, за триатомни газове - 0,8 и за многоатомни газове - 1,0. За течни метали Pg « 0,005. 0,05, което се обяснява с високата топлопроводимост на металите.
Критериите, които са безразмерна форма на условия за уникалност, се наричат дефиниращи.По същество критериите за сходство са само дефиниращи критерии, съставени от дадени постоянни стойности. От това следва, че понятието "дефиниране" не е свойство, присъщо на определени критерии. В този смисъл, например, комплексътax/12не е критерий, а обобщена променлива или число на Фурие. Но ако според условието на задачата е зададено някакво характерно време - нека периодът на колебание на околната температура е t0, тогаваax0/12ще бъде критерият.
При проблеми с конвективен топлопренос Nu е количеството, което трябва да се определи, безразмерният желан коефициент на топлопреминаване е числото Nus-selt. В проблемите на нестационарната топлопроводимост в твърдо тяло [уравнение (2.40) с vv = 0 и гранични условия (2.42)], подобнопо форма, комплексът a1/Xе определящияткритерий на BioВі= a 1/X. За разлика от числото Nu в критерия на Био, X е топлопроводимостта на твърдо тяло и стойността на a е включена в условията за уникалност. Критерият на Biot характеризира съотношението на термичното съпротивление на стената 1/X към термичното съпротивление на пренос на топлина върху повърхността (1/a), като и двете съпротивления са дадени според условието на проблема.
Основните положения на теорията на подобието са формулирани под формата на три теореми.
Първата теорема за подобие е формулирана по следния начин.Феномените, които са подобни едно на друго, имат еднакви критерии за сходство.Теоремата установява връзка между константите на сходство и ни позволява да идентифицираме критерия за сходство. Освен това теоремата показва, че в експериментите е необходимо да се измерват онези количества, които се съдържат в критериите за сходство на изследваното явление.
Втората теорема за подобиеустановява възможността за представяне на интеграла като функция на критериите за подобие на диференциално уравнение.Уравнението, представящо връзката между безразмерни параметри (критерии), се нарича критериално уравнение
Втората теорема за подобие позволява да се намали броят на променливите в задачите за пренос на топлина и по този начин значително да се опрости тяхното решение. Наистина, както следва от диференциалните уравнения на топлопреминаване, коефициентът на топлопреминаване е сложна функция на голям брой променливи:
Във формата на критерия тази зависимост може да бъде представена чрез уравнение, в което броят на променливите е много по-малък
За принудително движение, както ще бъде показано по-долу, Nu = / (Re, Pr), за естествена конвекция Nu = / (Gr, Pr).
За газ тези зависимости са опростени и съответно имат формата Nu = /(Re), Nu = /(Gr).
В задачи за нестационарна топлопроводимост в твърдо тяло температуратасе определя от уравнението
Вбезразмерна форма броят на променливите е намален до две:
Ако формата на функцията на уравнение (2.62) бъде намерена за конкретен случай, тогава полученият резултат се простира до безброй набор от подобни явления.
Третата теорема за подобиее формулирана по следния начин:подобнионезиЯвления, които имат сходни условия за уникалност и същите определящи критерии.
Теоремата позволява да се установи група от явления, подобни на изследваната извадка, и се състои в установяване на условията, необходими и достатъчни, за да бъдат други явления подобни на първия. Третата теорема, установена от М. В. Кирпичев и А. А. Гухмай, понякога се нарича обратна, за разлика от първата, директна. Съдържанието на тази теорема е в основата на моделирането, метод за експериментално изследване на модел на явление.