Основни видове вибрации
Има много различни видове вибрации. Но трите вида трептения са основните, към които могат да се сведат всички останали видове други трептения. Това са свободни трептения, принудени и собствени трептения.
Безплатни вибрации
Свободни вибрации, това е когато една система, изведена от състояние на равновесие, осцилира сама без наличието на каквато и да е външна сила в затворена система. Тоест няма такава външна сила, която периодично да се променя с определена честота. По време на свободни трептения системата има собствена честота на такива трептения. Тази честота на свободните трептения като цяло зависи от амплитудата на свободните трептения. В случай на линейна система тази честота не зависи от амплитудата.
Осцилаторната система се нарича линейна, ако диференциалните уравнения, които я описват, имат формата на линейни диференциални уравнения, т.е. функцията на зависимостта на координатите от времето влиза в тези уравнения само до първа степен. За нелинейни осцилаторни системи диференциалните уравнения съдържат функция на координатите спрямо времето в степени, различни от единица.
Това не са непременно цели числа като 2, 3, 4 и т.н. В нелинейните диференциални уравнения това могат да бъдат както дробни, така и отрицателни степени. Освен това тези функции могат да бъдат включени в уравненията и в някои други функционални нелинейни зависимости, например под синус или логаритъм. Тъй като тези функции могат да бъдат представени като полиноми (например чрез разширение в серия на Тейлър) със степени, различни от единица, такива зависимости също се считат за нелинейни.
В силно нелинейни осцилаторни системи с две или повече степени на свобода може да възникне стохастизация на трептенията. За външен наблюдател товарандомизацията на свободните трептения изглежда така, сякаш системата извършва някакви произволни движения. Различни видове автокорелационни функции и коефициенти на корелация на такова движение може да не се различават по никакъв начин от наистина хаотично движение под действието на случайни външни сили. Въпреки че цялата система е затворена и се движи под действието на строги динамични закони (например в механиката под действието на строги закони на Нютон).
Ако в системата няма триене, тогава свободните трептения продължават неограничено с постоянна амплитуда. При наличие на триене амплитудата на свободните трептения постепенно намалява до нула и трептенията спират.
Принудителни вибрации
Принудени трептения, това е когато някаква външна периодична сила действа върху системата и следователно системата осцилира с честотата на външното въздействие.
Нека обърнем внимание на факта, че ако системата е способна да извършва свободни трептения, то тя не достига веднага стационарния си режим на принудени трептения с честота, равна на честотата на външната сила, а само след известно време след началото на външната сила. Ако такава система е линейна, тогава в стационарен режим тя не само запазва постоянна честота на трептенията, но и амплитудата, както и фазовото изместване на трептенията на системата спрямо фазата на трептенията на външната сила.
Подобни явления могат да възникнат и в нелинейни системи, които могат да извършват свободни трептения. И в силно нелинейни колебателни системи, дори и с една степен на свобода, може да се наблюдава стохастизация на трептенията. При такава стохастизация в стационарен режим на принудени трептения се наблюдават промени в амплитудата на трептенията и фазовото изместване. Външните параметри на такова движение са неразличими от ситуацията, когато системата допълнителнодейства някаква произволна сила, въпреки че всъщност такава външна сила няма и целият процес е строго детерминиран.
Когато честотата на външната сила съвпадне с честотата на свободните трептения, възниква явление резонанс. В система без триене това води до безкрайно увеличаване на амплитудата на трептенията. В система с триене има пик в зависимостта на амплитудата на трептене от честотата на външната сила.
Интересно е да се отбележи, че ако честотата на колебанията на външната сила не е близо до честотата на свободните колебания на системата, тогава липсата на триене не води до безкрайно увеличаване на амплитудата на колебанията. Това се дължи на факта, че поради фазовото изместване на трептенията на системата от фазата на трептения на външната сила, част от периода системата се движи срещу външната сила. Тоест за част от периода системата работи срещу външна сила.
Следователно няма безкрайно изпомпване на системата с енергия от външна сила. В стационарен режим се задава такова фазово изместване и амплитуда, така че колко енергия влиза в системата, същото количество от нея се изразходва за работа срещу външна сила.
Ето защо, дори при липса на триене, трептящата външна сила не е в състояние безкрайно да изпомпва енергия в осцилаторна система, която може да извършва принудителни трептения. С изключение на случая на резонанс, когато фазовото изместване става нула и по този начин системата не изразходва енергия за извършване на работа срещу външна сила.
Автоколебания
Самоколебания, това е, когато върху системата действа непериодична (често постоянна) външна сила и системата под действието на такава сила осцилира с определена честота.
Например в часовник с махало с тежести гравитационната сила е постоянна и не осцилира. При конвенционалните пружинни часовници еластичната сила също не се променя.периодично във времето. Кварцовите часовници използват постоянен ток от батерия. В различни видове играчки за настолни компютри и офис джунджурии, като "вечното" движение или махалото на Нютон, също се използват DC батерии. Когато във вашия апартамент бръмчи водопроводна тръба, това не означава, че се е появила някаква външна сила, която разклаща тази тръба или разклаща водата в тръбата с честотата на звуковите вибрации.
Като правило, за да може една автоколебателна система да започне да извършва постоянни автоколебания, тя трябва не само да бъде изведена от равновесното състояние, но и отклонена от равновесното състояние със стойност, по-голяма от определена критична амплитуда (или на системата трябва да се даде скорост, по-голяма от определена критична скорост). След това автоколебателната система започва да извършва незатихващи собствени трептения и в крайна сметка достига част от стационарния си режим на собствени трептения. Ако първоначалното отклонение на системата е по-малко от критичното, тогава тези трептения не достигат стационарен режим и затихват.
Самоосцилиращите системи винаги са нелинейни системи и винаги системи с триене.
В автоколебателните системи също могат да се наблюдават явления на динамичен хаос.
Свързаните самоосцилиращи системи се характеризират с такива явления като честотна конкуренция и честотно улавяне. Това явление беше забелязано за първи път преди няколко века, когато няколко часовника с махало, които вървяха малко по-различно (някои изоставаха, други вървяха малко напред), бяха поставени на един дървен плот в магазин. След няколко часа продавачът забеляза, че всички часовници започнаха да работят с еднаква скорост. Следователно, ако всички тези часовници са настроени на едно и също време, тогава никой няма да изостава или да тича напред.
Всички часовебеше установена определена равновесна честота на автоколебанията поради факта, че по дървения плот от всеки часовник течаха трептящи вълни, които започнаха да действат върху автоколебателните системи на съседните часовници като допълнителна външна периодична сила. Въздействието върху съседните часовници беше толкова по-голямо, колкото по-голяма беше енергията на собствените трептения на съседните часовници и колкото по-близо стояха един до друг (тъй като енергията на вълната намаляваше с увеличаване на разстоянието до часовника). Оказа се, че всеки часовник иска да наложи своята честота на принудителни трептения върху околния часовник. В резултат на такава конкуренция беше установена определена компромисна честота на собствените трептения за всички часовници.
Ако поставите много масивен часовник с махало с достатъчно голяма енергия на собствените колебания върху една дървена дъска и поставите много малки часовници с малки енергии на собствените колебания наблизо и всички честоти на тези часовници са различни, тогава след известно време големият часовник ще накара всички малки часовници да трептят с честотата на големия часовник. Малките часовници няма да могат да се конкурират с големите часовници и ще им се "подчиняват".
И ако всички малки часовници имат една и съща честота на собствени колебания и сумата от всички енергии на собствените колебания на тези малки часовници ще бъде много по-голяма от енергията на собствените колебания на големите часовници, тогава, напротив, малкият часовник ще принуди големия часовник да се приспособи към тях.
И накрая, ако енергията на собствените колебания на всички малки часовници, които имат една и съща честота, е приблизително от същия порядък като енергията на собствените колебания на големите часовници, тогава в системата ще се установи някаква компромисна честота на собствените колебания на всички часовници.
Динамична симетрия на трептенията
Принципът на симетрия на Кюри гласи, че групата на симетрия на една система винаги е подгрупа на симетрия, която е обща подгрупа на групатасиметрията на самата система и групата на симетрия на външното влияние (външно поле.)
Трептенията имат транслационна симетрия във времето. Но не непрекъснато, а дискретно, със стъпка, пропорционална на периода на трептене.
В случай на свободни трептения с триене, системата се стреми към равновесно състояние на покой с непрекъсната транслационна симетрия във времето. Това е симетрията, която има системата.
При принудени вибрации системата има група на симетрия, която съвпада с максималната обща подгрупа на групите на системата и външното въздействие.
А при автоколебанията системата има и група на симетрия, която е обща подгрупа на системната група и групата на външно влияние. Но тази подгрупа не е най-голямата възможна обща подгрупа. Самата тази подгрупа е подгрупа на такава максимално възможна обща подгрупа.
Обърнете внимание, че принципът на симетрия на Кюри не забранява групата на симетрия на система да бъде не-максимална възможна обща подгрупа на системата и групите за действие. Когато тази група не е максимална, се казва, че възниква спонтанно нарушаване на симетрията.
Спонтанното нарушаване на симетрията е характерно за самоорганизираните системи. В този смисъл автоколебанията (както и автовълните) са най-простите примери за самоорганизирани системи.