Особена точка на кривата

Особена точкана крива е точка, в чийто съседство няма гладка параметризация. Точното определение зависи от вида на изследваната крива.

Съдържание

Особените точки на криватаса тези точки на кривата, в които и двете производни се нулират:

Редовни точки

Нека кривата минава през началото. Поставяйки y = m x , можем да представим f като

двойни точки

Двойните точки могат да бъдат класифицирани чрез корените на уравнението c 1 + 2 c 2 m + c 3 m 2 = 0 +2c_m+c_m^=0> .

Самопресечни точки

изолирани точки

Ако уравнението c 1 + 2 c 2 m + c 3 m 2 = 0 +2c_m+c_m^=0> няма реални решения в m , тоест ако c 2 2 − c 1 c 3 0 ^-c_c_ , тогава началото се наричаизолирана точка. В реалната равнина началото на координатите ще бъде изолирано от кривата, но в комплексната равнина началото на координатите няма да бъде изолирано и ще има две въображаеми допирателни, съответстващи на две въображаеми решения на уравнението . Функцията f в този случай има локален екстремум в началото.

Ако уравнението c 1 + 2 c 2 m + c 3 m 2 = 0 +2c_m+c_m^=0> има едно реално решение в m с кратност 2, т.е. ако c 2 2 − c 1 c 3 = 0 ^-c_c_=0> , тогава началото се наричаcuspилиcusp. В този случай кривата променя посоката си в сингулярната точка, образувайки ръб. Кривата в началото има една допирателна, която може да се тълкува като две съвпадащи допирателни.

Допълнителна класификация

Терминътвъзел(англ. node ) се използва като общо наименование за изолирани точки и точки на самопресичане. Броят на възлите и броят на върховете на кривата са два инварианта,използвани във формулите на Плюкер.

Множество точки

Параметричната крива вR2 се дефинира като образ на функциятаg:R→R2 ,g(t) = (g1(t),g2(t)). Особените точки на такава крива са точките, в които

Много криви могат да бъдат зададени и в двата изгледа, но двете присвоявания не винаги са съгласни. Например, прагът може да бъде намерен както за алгебричната криваx3 −y2 = 0, така и за параметричната криваg(t) = (t2 ,t3 ). И двете дефиниции на кривата дават особена точка в началото. Въпреки това, точката на самопресичане [en] на криватаy2 −x3 −x2 = 0 в началото е единствена за алгебрична крива, но при параметричната спецификацияg(t) = (t2 −1,t(t2 −1) ) двойката производниg′(t) никога не изчезва и следователно точкатане есингулярна в горния смисъл.

Трябва да се внимава при избора на параметризация. Например линиятаy= 0 може да бъде параметрично дефинирана катоg(t) = (t3 , 0) и ще има особена точка в началото. Ако обаче е параметризирано катоg(t) = (t, 0), то няма да има особени точки. Следователно, технически е по-правилно да се говори за особени точки на гладко картографиране, а не за особени точки на крива.

Горните дефиниции могат да бъдат разширени доимплицитни криви, които могат да бъдат определени като набор от нулиf−1 (0) на произволна гладка функция. Дефинициите могат също да бъдат разширени до криви в пространства с по-високи измерения.

Съгласно теоремата на Хаслер Уитни, [4] [5] всяко затворено множество вRnе множество от решенияf−1 (0) за някоигладкофункцииf:Rn→R. Следователно всяка параметрична крива може да се дефинира като имплицитна крива.

---