ОТНОСНО ДОКАЗАТЕЛСТВОТО НА ПОСЛЕДНАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА

(Публикувана през 1974 г.)

Посвещавам го на светлата памет на моя учител Пьотър Сергеевич Новиков.

… Използвайки принципа на пълната индукция, може да се докаже СЪЩЕСТВУВАНЕТО на някакъв математически ПРОИЗВОД.

И обратното, използвайки принципа на пълната редукция, лесно се доказва, че някаква позиция НЕ СЪЩЕСТВУВА.

Авторът вярва, че принципът на пълната редукция не е нищо друго освен "метода на безкрайното спускане", с който толкова се гордееше великият Ферма.

Принципът на пълната редукция, въпреки че се използва в историята на математиката, е единственият принцип, подходящ за машинната математика (за доказване на теореми), като методът на „безкрайното спускане“….

ПРИНЦИП НА ПЪЛНО НАМАЛЯВАНЕ,

КАТО „ДВОЙНИК“ НА ПРИНЦИПА НА ПЪЛНАТА ИНДУКЦИЯ

Откриването на "двойник" на ЕДИНСТВЕНИЯ принцип на математическото доказателство едва ли може да остане незабелязано сред математиците.

От само себе си се разбира, че този принцип Е ИЗПОЛЗВАН и ИЗПОЛЗВАН, но остава в необятния математически свят само НЕНАЗВАН. Ние предлагаме да наричаме този принцип – принцип на ПЪЛНАТА РЕДУКЦИЯ.

Съществува обаче почти безкраен брой различни математически теории, по отношение на които никой не може да каже дали този конкретен "математически инструмент" е подходящ или не за решаване на приложни проблеми от определен тип.

Обсъждане на този набор от проблеми с P.S. Новиков ме доведе до набор от проблеми, наречени "алгоритмично неразрешими".

Именно тук се появи общ ръководен принцип, който все още нямаше име. Всъщност имаме предвид минималния срок на поредицата, т.е. към члена, който играе ролята на "ЕДИН".

Тъй катоима безкраен брой различни "единици", тогава те могат да служат като източник на парадокси. Ето прост пример за група от "неразрешими" проблеми:

1 + 1= 2;

1 + 1 = 1;

1 + 1= 0.

Няма смисъл да се доказва коя от тези три формули е "вярна": всички те са верни за различни клонове на математиката.

Използвайки принципа на пълната индукция, можем да докажем СЪЩЕСТВУВАНЕТО на някакъв математически ПРОИЗВОД. Напротив, използвайки принципа на пълната редукция, можем да докажем, че някаква позиция НЕ СЪЩЕСТВУВА.

Ние вярваме, че принципът на пълна редукция не е нищо друго освен "методът на безкрайното спускане", с който великият Ферма толкова се гордееше.

Установявайки ДОКАЗАТЕЛСТВОТО на някаква математическа позиция, ние всъщност правим преценка за СЪЩЕСТВУВАНЕ или НЕ СЪЩЕСТВУВАНЕ.

Може да се приеме, че принципът на пълна редукция не може да не използва поредица от естествени числа, тъй като само там можем да въведем понятието - "ПРЯКО СЛЕДВА". Аксиоматиката на естествените серии обаче трябва да бъде представена във форма, различна от аксиоматиката на Пеано:

Има естествени числа.

Всяко естествено число има едно и само едно ПРЕДШЕСТВАЩО.

Няма естествени числа по-малки от едно.

Тези дефиниции са различни от двустранната серия на Грасман, тъй като завършват на едно или друго "едно" в безкраен низход.

Получихме правилна дефиниция на понятието „НЕПОСРЕДСТВЕНО ПРЕДШЕСТВАЩ“.

От само себе си се разбира, че има много статии, които говорят за уникалността на предходния елемент, но проблемът беше да се обърне естествената серия по такъв начин, че тази КРАЙНОСТ да не бъде загубена в метода на спускане.

Първият "тест на писалката"пълен метод на редукция и трябва да се извърши върху проблема за някои "НЕ СЪЩЕСТВУВА" Почти очевидно е, че имаме такова твърдение в историята от самия Ферма.

Тези грешки са три:

Заместване на проблема на Ферма - друг проблем (по-специално, използването на ирационални числа).

Използване на принципа на "пълната индукция", който не е валиден за БЕЗКРАЙНИ множества (множеството от естествени числа е безкрайно).

Няма проверка на четност поради неправилна "дефиниция" на четно число.

Вярвам, че Ферма е успял да използва проверката на паритета, която е загубена в развитието на математиката. Методът, с който Ферма толкова се гордееше, е известен като метода на „безкрайното спускане“. Когато използвате този метод, атрибутът на числото, че е ЧЕТНО или НЕЧЕТНО, се запазва до най-малкия елемент.

Това ми дава право да твърдя, че "методът на безкрайно спускане на Ферма" е другото име за проверка за ЧЕТНОСТ. Тази задача беше изгубена в търсенето на "доказателство".

Назовахме три типични грешки в опитите за „доказване“ на теоремата на Ферма. Нека се спрем на тях по-подробно.

Типичен пример за първата грешка е въвеждането на ирационални числа, което е свързано с отхвърлянето на основната теорема на аритметиката.

Така че отхвърлянето на основната теорема на аритметиката, в рамките на която е необходимо да се реши проблемът, е подобен пример. Например, G. Edward c пише:

„Оказва се, че има дълбоко вкоренена тенденция сред математиците несъзнателно да приемат уникалността на разлагането на прости числа.

Тази тенденция несъмнено е вдъхновена от опита от изчисленията с обикновени цели числа и важната роля, която играе уникалността на разширението в доказателството на такива факти като твърдението, че произведението на две взаимно прости числачислата е квадрат само ако всеки фактор е квадрат" [1].

Лесно е да се види, че n-тият корен на сумата (xn + yn) е прост пример за забрана за ирационални числа, но. само в доказателството на теоремата на Ферма.

Това твърдение на Г. Едуардс ясно показва, че имаме работа с проблем, различен от проблема на Ферма.

Ако останем в рамките на АРИТМЕТИКАТА, тогава можем да открием противоречие, ако от противоположните страни на знака за равенство са:

Естественото число Ф не е равно на естественото число.

Простото число F е съставно число.

Четно число Ф - нечетно число.

Смятам, че тези три дихотомии са напълно достатъчни за доказателството на теоремата.

Един мой приятел математик, който съобщи, че теоремата на Ферма е доказана за показатели над 100 000,не можа да разбере, че принципът на пълната индукция НЕ МОЖЕ да доведе до успех по принцип, тъй като може да се използва само за КРАЙНИ набори.

По силата на горното обстоятелство ние изключваме "принципа на пълната индукция" от всички възможни доказателства на теоремата на Ферма. Наличието на този недостатък в подхода към доказателството никога няма да позволи да се каже - "не може да има други" по отношение на БЕЗКРАЙНОТО количество естествени числа!

Това е, което аз наричам втората грешка от представените доказателства на теоремата на Ферма.

Методът на Ферма за „безкрайното спускане“ все още не е получил адекватно изражение в съвременната математическа литература и именно този метод е ключът към доказателството.

Всъщност на разположение на Ферма на долното ниво на "безкрайното спускане" беше проверката за ЧЕТНОСТ.

Ще дадем определено твърдение по отношение на БЕЗКРАЙНИЯ естествен ред, еквивалентно на теоремата на Ферма, във формата:

„Теорема на Фермаможе да бъде невярно само за показател, който е ЕДНОВРЕМЕННО ЕСТЕСТВЕН, ПРОСТ и ЧЕТЕН."

Очевидно в цялата безкрайна редица от естествени числа няма друго естествено, просто и четно число, освен две.

Ако докажем това твърдение, тогава самата теорема на Ферма ще бъде доказана.

Смятаме, че препятствието пред доказателството на теоремата на Ферма беше неправилната дефиниция на ЧЕТНО число.

Така че числата 6 или 10 се считат за четни, но след разделяне на 2 стават нечетни. При метода "безкрайно спускане" такова неправилно определение на паритета се елиминира, чрез последващото РАЗДЕЛЕНИЕ.

Класът на БЕЗУСЛОВНО четните числа е маркиран.

Въз основа на правилото, че ИСТИНСКИ математически обект не може да промени свойствата си, трябва да се отървем от тази неправилна дефиниция.

Правилното въвеждане на концепцията за ПАРИТЕТ е истинският принос в развитието на математиката, в името на който човек може да си позволи да се справи с този проблем, който е породил безброй много "фермисти".

Тъй като в момента се изисква да се докаже теоремата на Ферма само за експонентата, която е естествено, просто и НЕЧЕТНО число, тогава валидността на нашето твърдение ще бъде доказана, ако разгледаме само останалия случай.

Известно е, че от трите числа (x, y, z), включени във формулировката на теоремата, две са нечетни, а едно е "четно". Взехме израза "четно" в кавички, тъй като и 6, и 10 са подобни "четно".

Въпреки това можем да се измъкнем от тази несигурност, ако разгледаме разлагането на числата на прости множители. В този случай всяка степен на числото 2, присъстваща във всяко разлагане, не може да изчезне ище остане като знак за ДАЖЕ.

В този случай е възможен тест за "ЧЕТНОСТ", който се състои в това, че минималният обект, който запазва паритет, съдържа само числото 2 в разлагането на прости множители.

Да приемем, че от три естествени числа x, y, z където x

Въпреки това, в първия фактор - R - разликата на две нечетни числа, когато се разложи на прости фактори, ще даде числото 2 в една или друга степен. Това може да се напише така:

От друга страна, имаме ЧЕТНО число без кавички отляво, което може да бъде представено като 2k. В този случай имаме:

Сравнявайки сега лявата и дясната част на получения израз, намираме:

Идва моментът за проверката на PARITY:

В първия и третия случай, въз основа на разликата в ЧЕТНОСТТА, теоремата се доказва. Във втория случай имаме едно отляво и число отдясно, което очевидно е по-голямо от едно.

При разглеждането на възможното доказателство, което Ферма имаше предвид, ние искахме да насочим вниманието към важността на принципа на ПЪЛНАТА РЕДУКЦИЯ като „допълнително средство за решаване на определени проблеми.

Предложеното доказателство е един вид "отстъпление" от друга работа, където добре известният метод на "спинорна линеаризация" [2] прави възможно решаването на много "нелинейни" проблеми, които развалят живота толкова много в математическите приложения на практика.

Същият принцип на пълна редукция може да хвърли малко светлина върху решението на шестия проблем на Хилберт, тъй като повдига въпроса за разнообразието на "физическите" ЕДИНИЦИ [3].

[1] Г. Едуардс „Последната теорема на Ферма“. "Мир", М. 1980, с.120.

[2] П. Г. Кузнецов, С. Б. Пшеничников "Метод на Спинор за решаване на системи от нелинейни алгебрични уравнения". ДАН. 1985.V.283 № 5, стр. 1073.

[3] P.O. Бартини, П.Г. Кузнецов „Множество геометрии имножественост на физиката".

Москва, Серебряни Бор 1994

Публикувано:

В сб. "Моделиране на динамични системи", Брянск, 1974 г., с. 18-29.