Отрицателните числа ненаучен подход

И как да обясним на дете на 9 години правилата за умножаване на отрицателни числа? Не само аксиомата „минус по минус дава плюс“, а именно защо знакът се променя. Детето е защо, без обяснение, той просто не вярва на думите.

Винаги много се радвам на такова любопитство както от страна на родителите, така и разбира се, от страна на децата. Честно казано, този въпрос ме изненада.

Как да обясним дълбоко научните измислици, които са били обсъждани и оспорвани от много векове, на прост и разбираем език за млад ученик.

Но всичко е наред. В такъв сериозен предмет като математиката не може без "скучни" спорове.

По-долу е моето субективно виждане по този въпрос.

Едно от местата в алгебрата, което е трудно за усвояване от учениците, е учението за действията с отрицателни числа. И не защото установените правила за действие са сложни. Напротив, те са много прости. Но остават неясни два въпроса.

Защо се въвеждат отрицателни числа?
Защо върху тях се извършват действия по такива правила, а не по други? По-специално, много слабо се разбира защо при умножаване и деление на отрицателно число на отрицателен резултат има положително число.

Всички тези въпроси възникват, защото учениците обикновено се запознават с отрицателните числа, преди дори да започнат да решават уравнения, и те не се връщат към правилата за работа с отрицателни числа. Междувременно отговорът и на двата въпроса, поставени по-горе, се изяснява само във връзка с решението на уравненията. Исторически отрицателните числа са възникнали именно в тази връзка. Ако нямаше уравнения, нямаше да има нужда от отрицателни числа.

Дълго време уравненията се изучаваха без помощта на отрицателни числа; в същото време възникнаха много неудобства; Заелиминира тези неудобства и бяха въведени отрицателни числа. В същото време много видни математици дълго време отказват да ги въведат в употреба или ги въвеждат с голямо нежелание. Декарт също нарича отрицателните числа "фалшиви числа".

Следният прост пример дава представа за естеството на споменатите неудобства. При решаване на уравнение от първа степен с едно неизвестно, например уравнението

прехвърляме членовете така, че в едната част на уравнението има известни величини, в другата - неизвестни величини. В този случай знаците са обърнати. Събирайки неизвестните от дясната страна и известните от лявата, получаваме

Тези преобразувания могат да се извършват без изобщо да се използват отрицателни числа и да се третират знаците + и - като знаци за събиране и изваждане, а не като знаци за положителни и отрицателни числа. Но тогава е необходимо предварително да се обмисли въпросът и от коя страна, отдясно или отляво, трябва да се прехвърлят неизвестните термини. Ако, например, в горното уравнение изместим неизвестните членове наляво, получаваме

Без въвеждане на отрицателни числа не можем да извадим 11 от 5, не можем да извадим 10x от 7x и следователно не можем да отидем по-далеч в решаването на уравнението. Междувременно не винаги е ясно предварително (особено ако има много членове) в каква посока трябва да се прехвърлят непознатите термини, за да не се създава такава ситуация. Калкулаторът трябва да е готов да върши двойна работа, прехвърляйки термини в правилната посока. С цел рационализиране на изчислителния процес бяха въведени отрицателни числа. Наистина, ако се съгласим да считаме за възможно "невъзможното" изваждане на 5 - 11, означавайки резултата като -6, и по същия начин изваждането на 7x - 10x, означавайки резултата -3x, тогава получаваме -3x = -6.

Сега се оказва, че чрез въвеждане на отрицателни числа,трябва да установим правило: когато отрицателно число (-6) се дели на отрицателно число (-3), частното е положително число (2). Всъщност това частно трябва да даде стойността на неизвестното количество x, което преди това беше намерено по различен начин (без отрицателни числа) и се оказа 2.

Приблизително така са въведени отрицателните числа; целта на това въведение е да рационализира изчислителния процес; правилата за операции с отрицателни числа са резултат от въвеждането на тази техника за рационализация в изчислителната практика.

Дългосрочни и разнообразни тестове показаха, че тази техника е изключително ефективна и намира брилянтни приложения във всички области на науката и технологиите. Навсякъде въвеждането на отрицателни числа дава възможност да се обхванат такива явления с едно правило, за което би било необходимо да се измислят десетки правила, ако се ограничим до положителните числа.

Така че на горните два въпроса трябва да се отговори по следния начин.

След това се въвеждат отрицателни числа, за да се премахнат редица трудности, възникнали предимно при решаването на уравнения.
Правилата за работа с тях произтичат от необходимостта резултатите, получени с отрицателни числа, да бъдат съгласувани с тези, които биха могли да бъдат получени без тях.

Всички тези правила могат да бъдат установени чрез разглеждане на най-простите уравнения, точно както правилото за деление на отрицателно число на отрицателно беше получено по-горе.

Правилата за работа с отрицателни числа са наистина лесни за запомняне. Но любопитните ученици все още се опитват да намерят собствено обяснение как например да умножите две отрицателни числа и защо отговорът е точно ПОЛОЖИТЕЛЕН.

Ето едно такова обяснение.

Разгледайте първо действието (-2)*1 върху координатния лъч.

Използвайки правилото “a*b=a+a+a+a+a+a+…” b-пъти, отделяме числото -2 на координатния лъч веднъж, т.е. в обратна посока от нулата.

И тъй като (-2) * 1 \u003d 2 * (-1) \u003d -2, тогава ще се съгласим по такъв начин, че умножението по числото -1 означава „оставяне на числото, противоположно на първоначалното на координатния лъч“.

След това, като се има предвид примерът (-2) * (-3), имаме: (-2) * (-3) \u003d (-2) * 3 * (-1) \u003d (-6) * (-1), което означава "поставете на координатния лъч числото, противоположно на числото -6".

И това означава, че резултатът е (-6)*(-1) = 6.

Тези. Резултатът от умножаването на две отрицателни числа е положително число.

Смятаме отрицателните числа за нещо естествено, но това далеч не винаги е било така. За първи път отрицателните числа са легализирани в Китай през III век, но се използват само в изключителни случаи, тъй като се считат за безсмислени. Малко по-късно отрицателните числа започнаха да се използват в Индия за означаване на дългове, но те не пуснаха корени на запад - известният Диофант от Александрия твърди, че уравнението 4x + 20 = 0 е абсурдно.

В Европа отрицателните числа се появяват благодарение на Леонардо от Пиза (Фибоначи), който ги въвежда и за решаване на финансови проблеми с дългове - през 1202 г. той за първи път използва отрицателни числа, за да изчисли загубите си.

Въпреки това до 17-ти век отрицателните числа са били „в писалката“ и дори през 17-ти век известният математик Блез Паскал твърди, че 0-4 = 0, защото няма такова число, което да е по-малко от нищо, и до 19-ти век математиците често отхвърлят в своите изчисления.

Но както и да е, ясно е, че отношението към отрицателните числа през цялата история сред учените е двусмислено. И спечелиха място за себе си „подслънце”, преодолявайки големи трудности. Както и да се наричаха: и „фалшиви числа“, и „абсурдни числа“, и „фиктивни числа“.

В ежедневието те се свързват като „дълг“, докато положителните числа се представят като „собственост“ или „печалба“. Едно е ясно, че и в наше време отрицателните числа не оставят никого безразличен. И още повече, когато става въпрос за дълг.