Планиране на експеримента
ЕКСПЕРИМЕНТАЛНО ПЛАНИРАНЕ Основни понятия и определения
Повечето научни изследвания са свързани с експерименти.
Експериментът е набор от операции, извършвани върху обект на изследване, за да се получи информация за неговите свойства. Експеримент, при който изследователят може да промени условията на неговото провеждане по свое усмотрение, се нарича активен експеримент. Ако изследователят не може самостоятелно да промени условията на своето провеждане, а само ги регистрира, тогава това е пасивен експеримент.
Опитът е отделна експериментална част.
Планът на експеримента е набор от данни, които определят броя, условията и реда за провеждане на експерименти.
Планирането на експеримента е процедура за избор на броя и условията за провеждане на експерименти, които са необходими и достатъчни за решаване на проблема с необходимата точност. По този начин целта на планирането на експеримента е да се намерят такива условия и правила за провеждане на експерименти, при които е възможно да се получи надеждна и надеждна информация за обекта с най-малко разходи за труд, както и да се представи тази информация в компактна и удобна форма с количествена оценка на точността.
За да се дефинира концепцията за обекта на изследване, е удобно да се използва концепцията за така наречената "черна кутия" (фиг. 1)
Фиг. 1. Схема на черна кутия
Стрелките вдясно изобразяват свойствата на обекта (Y), които ни интересуват, наречени отговори. За провеждане на експеримент е необходимо да можете да повлияете на поведението на "черната кутия". Всички начини за такова влияние се обозначават (X) и се наричат фактори.
Нека свойството (Y) на обекта на интерес за изследователя зависи от няколко (n) независими фактора(X/> X2, .Xn) и е необходимо да се изясни естеството на тази зависимост - Y = F(Xi, X2, .Xn), за която има само обща представа. Зависимостта Y \u003d F (X \, X.2, ■■• > Xn) се нарича функция на отговор.
Отговорът трябва да бъде количествено определен. Възможно е обаче да има и качествени признаци на Y. В този случай е възможно да се използва ранговият подход. Пример за подход за класиране е изпитната оценка, когато сложен набор от информация за знанията на студента се оценява с едно число. Всеки фактор също трябва да бъде количествено определен и да вземе една от няколко стойности в експеримента. Такива стойности се наричат нива. Фиксиран набор от факторни нива определя едно от възможните състояния на черната кутия. В същото време това са условията за провеждане на един от възможните експерименти. Ако изброите всички възможни състояния, тогава получавате пълен набор от различни състояния на тази "черна кутия". В същото време това ще бъде броят на възможните различни преживявания (N).
Ако броят на нивата (p) на всеки от k броя фактори е еднакъв, тогава
Например, обект с десет фактора на четири нива има над милион възможни състояния. Очевидно е, че в такава ситуация е почти невъзможно да се проведе експеримент за оценка на всички възможни състояния на обекта на изследване. В този случай е необходимо да се планира експериментът.
Най-важната задача на методите за обработка на информацията, получена по време на експеримента, е задачата за изграждане на математически модел на явлението, процеса, обекта, който се изследва. Може да се използва както при анализ на процеси, така и при проектиране на обекти. В този случай се използва методът за планиране на регресионен експеримент.
Друга задача за обработка на информацията, получена по време на експеримента, е проблемът за оптимизация, т.е. намирането на такавакомбинация от въздействащи независими фактори, при която избраният показател за оптималност придобива екстремна стойност. В този случай се използва методът за планиране на екстремен експеримент, при който основната задача е експерименталната оптимизация на обекта на изследване. Използва се още:
• планиране на скринингов експеримент, чийто основен смисъл е изборът на група значими фактори от съвкупността от фактори, които подлежат на по-нататъшно подробно изследване;
• планиране на експеримент за дисперсионен анализ, т.е. съставяне на планове за обекти с качествени фактори;
• планиране при изучаване на динамични процеси и др.
Всеки фактор се счита за даден, ако е посочена областта на неговото определение. Домейнът на дефиницията се разбира като набор от всички стойности, които по принцип може да приеме даден фактор. В практическите задачи областите за определяне на факторите по правило са ограничени. Ограниченията могат да бъдат от основно или техническо естество. Когато планирате активен експеримент, факторите трябва да бъдат:
• контролируеми - експериментаторът, след като е избрал желаната стойност на фактора, трябва да може да поддържа тази стойност през целия експеримент;
• съвместими – всички комбинации от фактори трябва да са осъществими и безопасни;
• независим - факторът може да бъде зададен на всяко ниво, независимо от нивата на други фактори;
• некорелирани - изискването за некорелация не означава, че няма връзка между стойностите на факторите, достатъчно е връзката да не е линейна. Геометричната интерпретация на функцията на отговор е повърхността на отговора
(за два фактора Фиг. 2.).
Ако направим разрез на повърхността на реакцията с успоредни равниниравнина X1OX2 и проектираме получените в сеченията линии върху тази равнина, ще се получи набор от линии с еднакъв отговор (фиг. 3).
Пространството, в което е изградена повърхността на отговор, се нарича факторно пространство.
Всяко възможно състояние на обекта на изследване отговаря на една стойност на отговора. Обратното не е вярно: една възможна стойност на реакцията може да съответства на произволен брой състояния на обекта на изследване.
ПЛАНИРАНЕ НА ЕКСТРЕМЕН ЕКСПЕРИМЕНТ
При планирането на екстремен експеримент отговорът обикновено се нарича параметър за оптимизация. Други фактори с естествени стойности са означени като X ■
Приема се, че повърхността на отговор е гладка, непрекъсната и има един екстремум. Това позволява апроксимиране на повърхността на реакция в близост до всяка точка чрез степенен ред, по-точно чрез сегмент от степенен ред - алгебричен полином. Търсенето на крайната точка на повърхността на реакция в традиционен експеримент се извършва по следния начин (фиг. 4).
Ориз. 4. Търсене на крайната точка на повърхността на реакция в традиционен експеримент
В точка L с известна стойност на Y един от факторите, например X, е фиксиран и движението започва от тази точка по оста X2. Движението по оста X2 продължава, докато спре увеличението (намаляването) на Y. В точка M с най-добрата стойност на параметъра за оптимизация се фиксира факторът X2 и започва движение по оста X. В точка N със следващата най-добра стойност на Y, X отново се фиксира и започва движение по оста X2 и т.н.
Очевидно пътят към екстремума по начупената крива LMNR не е оптимален.
Най-краткият път за достигане на екстремума е да се движите по наклона. Този метод (методът на стръмно изкачване) е разработен от Бокс и Уилсън.
Метод на Бокс-Уилсън (стръмно изкачване)
Планирането на екстремен експеримент е метод за избор на броя и условията за провеждане на експерименти, минимално необходими за намиране на оптималните условия за функциониране на обекта на изследване. Тези оптимални условия на повърхността на реакция съответстват на екстремалната област.
Първоначално в съвместната област на дефиниране има локален поддомейн за планиране на експеримент за определяне на посоката на движение по градиента. Процедурата за избор на този поддомейн включва два етапа: избор на основно ниво и избор на вариационни интервали. Определя се основното (нулево) ниво, т.е. комбинацията от факторни нива (X10,X20.X0), съответстваща на най-добрата стойност на параметъра за оптимизация
от анализа на априорна информация. След това за всеки фактор се избират две нива, на които той ще варира в експеримента.
Факторите могат да имат различни измерения и рязко да се различават количествено. Факторното кодиране се използва при проектирането на експеримент.
Тази операция се състои в избор на нова скала за кодираните фактори, така че горното ниво да съответства на +1, долното -1, а основното - 0, както и преместване на началото към точката с координати (X10,X20.X/0) (фиг. 5.).
За фактори с непрекъсната област на дефиниране
където е кодираната стойност на j-тия фактор; X - естествена стойност на j-тия фактор;
X/n - естествена стойност на основното ниво на j-тия фактор; j - интервал на вариация на j-тия
По този начин интервалът на вариация е определено число (собствено за всеки фактор), добавянето на което към основното ниво дава горното, а изчислението - долното. Очевидно интервалът на вариация не може да бъде по-малък от грешката, с коятонивото на фактора е фиксирано и е толкова голямо, че горните или долните нива са извън областта на дефиницията. Може да се приеме, че ако интервалът на вариация е не повече от 10% от зоната на дефиниция, тогава интервалът се счита за тесен.
След избор на локален поддомейн се конструира матрица за планиране за пълен факторен експеримент (FFE), т.е. експеримент, в който се прилагат всички възможни комбинации от факторни нива. Когато броят на нивата на всеки фактор е равен на две, всички възможни комбинации от нива на фактор (брой експерименти) са равни на 2k.
Геометричната интерпретация на PFE 22 и 23 е показана на фигура 6.
Условията на експериментите съответстват на върховете на квадрата и куба, а номерата на върховете съответстват на номерата на експериментите в плановата матрица. По-долу е матрицата за планиране на PFU 22 . Планираща матрица за пълен факторен експеримент 22