Пределни теореми
Гранични теореми за свойствата на функции, които имат крайни граници
ТЕОРЕМА (за уникалността на границата)
Нека произволна функция е дефинирана в някаква околност на точката , .
Тогава, ако функцията at има краен лимит, тогава тя е уникална, т.е.
Доказателство от противно
по-специално и при ;
по-специално и при .
Следователно имаме
- неправилно числено неравенство.
Заключение: предположението за съществуването на повече от една лимит е невярно. Теоремата е доказана.
Специален случай (за последователност)
Ако приемем съществуването на две различни граници, тогава можем да посочим непресичащи се съседства на тези граници, в които ВСИЧКИ члена на последователността трябва да попадат едновременно, започвайки с определена.
ТЕОРЕМА (за локалната ограниченост на функция, която има крайна граница )
тези. ако функцията има крайна граница, тогава има околност на точката, където наборът от стойности на функцията е ограничено числено множество.
Доказателство. Тъй като c.h., то за всяко , включително за , съществува такова, че за , т.е. , където или .
Обърнете внимание, че обратното не е вярно, т.е. ако функцията е локално ограничена до , тогава тя не е задължително да съществува и е равна на крайната стойност.
Контрапример. Функцията има набор от стойности - ограничен набор във всеки квартал на точката, но не съществува.
Обърнете внимание, че функция, която има краен предел в точка и следователно е локално ограничена в съседство на тази точка, може да бъде неограничена в своя домейн на съществуване. Например за.
Функцията безкрайно голяма при е неограничена във всяка околност. Обратното не е вярно, т.е. функция, която е неограничена в не е непременно безкрайно голяма при . Например, .
Специален случай (за последователност):
всяка конвергентна последователност е ограничена, т.е.
Контрапример. е ограничена последователност, но не е конвергентна, тъй като нейните подпоследователности и се събират в несъвпадащи граници.
И така, теоремата за локалната ограниченост е "едностранна" теорема и изразява НЕОБХОДИМО условие за съществуването на краен предел на функция (и последователност).
Следващата поредица от твърдения описва връзката между отношенията за функции и техните граници.
ТЕОРЕМА (за пределно преминаване при равенство)
Ако на и съществува, значи също съществува.
ПРИМЕР. Тъй като за и , тогава .
ТЕОРЕМА (за пределно преминаване в неравенство)
Ако или на и съществува – к.ч. и - к.ч., тогава .
Доказателството може да се проведе от противно. Препоръчайте да го направите сами.
ТЕОРЕМА (за прехвърляне на неравенството между граници към функции)
Ако има граници и и неравенството е изпълнено, тогава съществува околност на която .
по-специално за : , т.е. . по същия начин
по-специално, при , т.е. или .
Тъй като за , тогава в пресечната точка на кварталите имаме , т.е. посочи съседството, върху което природата на неравенството между границите се пренася върху функциите.
Последица. Ако е краен брой и , тогава можете да посочите квартал, на който .
ТЕОРЕМА (за границата на междинна функция)
Ако on и съществуват и и техните стойности са крайни и равни, тогава съществува граница на междинна функция и нейната стойност съвпада със стойността на границите на лявата и дясната функция за оценка.
ТЕОРЕМА (за аритметиката на функциите,имащи крайна граница в същата точка)
Нека функциите и за имат крайни граници, т.е. , , и са крайни числа.
Тогава за всяка от функциите има крайна граница:
Доказателство. 1. Операцията за добавяне на функции се дефинира поточково. Твърдението е вярно за произволен краен набор от функцията. Тук разглеждаме сумата от две функции.
Имаме, т.е. за всяко (в частност, за ) съществува такова, че .
Обмислете и оценете:
Така че, т.е. по дефиницията на границата, това е крайно число и границата на SUM от функции е равна на SUM на границите на събираемите на функциите, ако границата на всяко събираемо на функцията е крайно число.
Обърнете внимание, че обратното не е вярно, т.е. съществуването на крайна граница на сумата от функции не определя съществуването на граница на всеки член.
Контрапример. Нека тогава. Но сумата от функции може да бъде представена чрез термини (двусмислено), например във формата и , а границите на термините при не са крайни числа (те не съществуват).
Имаме – крайно число, следователно – е локално ограничено, т.е. .
Въз основа на дефиницията на крайната граница за , ние също имаме.
Когато оценявате втория член в представянето, не се изисква. Когато дешифрираме
Качваме се на квартала и по дефиниция на границата
И така, границата на ПРОИЗВЕДЕНИЕТО на функциите е равно на ПРОИЗВЕДЕНИЕТО на границите на функциите, ако границата на всяка функция в произведението е крайно число.
Обратното не е вярно.
Контрапример. Нека тогава. Но произведението на функциите може да бъде представено чрез фактори двусмислено, например и , и тогава границата на фактора не е крайна.