Приблизителни формули
За големи n директното изчисляване на вероятностите Pn(m) с помощта на формулата на Бернули е свързано с изчислителни трудности, поради което в такива случаи се използват различни варианти на приблизителни изчисления, базирани на граничните теореми на Поасон и Моавр-Лаплас.
А. Приблизителната формула на Поасон се използва, когато броят на опитите на Бернули (n) е голям и вероятността за успех в единичен опит е малка (p n - m p n - m q m =Cn m p n - m q m »
Б. Приблизителни формули на De Moivre - Laplace. Ако в схемата на Бернули за независими опити броят на опитите n е голям, а вероятностите за успех и неуспех не са малки (например 0,1
Pn(m)=
където j(x)= . Функцията j(х) е четна и за положителни стойности на х е съставена таблица с нейните стойности.
Задача 6. Вероятност за попадение в целта от стрелеца с един изстрел p=0,75. Намерете вероятността с 10 изстрела стрелецът да уцели целта 8 пъти.
Решение. Тук n=10, m=8, p=0,75, q=0,25. Нека намерим x= и според таблицата определяме j (x)=0,3739, тогава желаната вероятност е равна на
Р10(8)= .
За да се изчисли вероятността Pn(m1,m2)= P(m1£m£m2) за събитието, че броят на успехите в n опита на Бернули е между m1 и m2, се използва следната приблизителна формула (интегрална теорема на Moivre-Laplace):
където x1= , x2= , и Ф(х)= - функция на Лаплас.
Функцията Ф(x) е равна на 0 при x=0; Ф(-х)º-Ф(x) за всички x, тоест е симетричен спрямо x=0. За функцията Ф(х) са съставени специални таблици за положителни стойности на аргумента.
Задача 7.Вероятността за възникване на събитие А във всяко от 21-те независими опита е 0,7. Намерете вероятността събитие А да се случи в мнозинствототестове.
Решение. x1= . По същия начин се изчислява x2 = 3. Тогава Р(11£m£21)=Ф(х2)–Ф(х1)=0,49865+0,4608=0,9594.
С помощта на интегралната формула на Moivre-Laplace е възможно да се изчисли вероятносттачестотата на поява на успех в n независими опита на Бернули (т.е. числото m / n)да се отклонява от вероятността за успех с не повече от положителна стойност e : .
Задача 8.Вероятността за възникване на събитие във всеки от 400 независими опита е 0,8. Намерете положително число e, така че с вероятност от 0,99 абсолютната стойност на отклонението на относителната честота на възникване на събитие от неговата вероятност да не надвишава e.
Решение.В този пример p=0,8, n=400. Според задачата. Следователно, , Съгласно таблицата за функцията на Лаплас, ние определяме и, следователно, e = 0,0516.
Приблизителна формула може да се използва и в следната схема "urn" : от обща популация от обем N, съдържаща M бели и N-M черни топки, се прави последователна селекция, без да се връщат n елемента. Вероятността получената проба да съдържа точно m бели топки се изчислява по формулата
PM,N(m,n)= .
Ако обемът на общата съвкупност и броят на белите топки са достатъчно големи (N®¥, M®¥, M/N®p=const), тогава схемата „урна“ може приблизително да бъде заменена от схемата на Бернули:
Не намерихте това, което търсихте? Използвайте търсачката:
Деактивирайте adBlock! и обновете страницата (F5)наистина е необходимо