Проблемът за съизмеримостта

Както видяхме, Евклид излага операциите с геометричните величини съвсем отделно от операциите с числата, като подчертава, че количествата и числата не са едно и също нещо. Но може ли човек все пак да се опита да намали геометрията до аритметика? Това може да се постигне, ако всеки сегмент се представи като определен брой минимални, атомарни елементи, от които всички сегменти биха се състояли, като числа - от един. Редица гръцки и дори по-късни мислители се опитват по някакъв начин да реализират този "геометричен атомизъм".

Може би първите от тях бяха питагорейците, които учеха, че в основата на всяко нещо има определено число. Те смятаха това число не просто за набор от единици, а като вид структура, която беше изобразена като фигура, съставена от точки (къдрави числа). По-специално, питагорейците вече наричат съставните числа - представени като произведение на два фактора - "плоски числа" и ги изобразяват като правоъгълници със страни и . Съставните числа, представени като произведение на три множителя, се наричат „твърди числа“ и се изобразяват като паралелепипеди. Простите числа, които не могат да бъдат представени като продукти, се наричат "линейни числа".

Питагорейците откриват много свойства на числата, свързани с тяхната делимост и по-специално изграждат теория за четните и нечетните числа – теорията за делимостта на 2. Основният резултат от тази теория е, че произведението на две числа е четно тогава и само ако поне един от множителите е четен. От това следва, че всяко число е или само по себе си нечетно, или може да бъде уникално представено като произведение на някакво нечетно число и някаква степен на две: .

Въз основа на този резултатпитагорейците са били убедени, че "геометричният атомизъм" е несъстоятелен: оказва се, че има несъизмерими сегменти, тоест такива сегменти, които не могат да се считат за кратни на един и същи сегмент (няма сегмент, който да се побира цял брой пъти както в единия, така и в другия от тези сегменти). Този факт се оказа повратна точка в развитието на математиката и стана широко известен не само сред математиците, тъй като като цяло противоречи на обичайната представа. Така в произведенията на философите Платон и Аристотел често се обсъждат въпроси, свързани с несъизмеримостта. „За всеки, който все още не е обмислил причината, е изненадващо, ако нещо не може да бъде измерено с най-малката мярка“, пише Аристотел.

По-конкретно, питагорейците открили, че страната на квадрат и неговият диагонал са несъизмерими. Доказателството беше следното. Нека разгледаме квадрат. Да предположим, че има сегмент, който пасва веднъж на диагонала и веднъж на страната. Тогава : = . Предполагаме, че поне едно от числата е нечетно. Ако това не е така и и двете са четни, тогава нека , и , където и са нечетни; разделяме и с най-малкото от числата и , получаваме две числа и такива, че поне едно от тях е странно. По-нататък вместо и ще пишем и и ще приемем, че едно от тези числа е нечетно. Ако конструирате квадрат със страна (да речем,), тогава площта на този квадрат ще бъде свързана с площта на квадрата като:

Според теоремата на Питагор площта на квадрат със страна е два пъти по-голяма от квадрата. По този начин, . Така че това е четно число. Нека е равно. Тогава . Защото , . Така че, също е четен. Това противоречи на предположението, че едно от числата и е нечетно.

Резултатът за несъизмеримостта на диагонала на квадрат и неговата страна обикновеноформулираме по следния начин: числото е ирационално, тоест не се изразява като дроб, където и са цели числа. Думата "ирационален" идва от латински. irrationalis - буквално преведено от гръцки. терминът „алогос“ („неизразим [с думи]“, „непропорционален“, „неразбираем“, от много двусмисления „логос“, означаващ по-специално „дума“, „пропорция“, „ум“, както и „учение“ и т.н., сравнете такива термини като „геология“ - учението за Земята, „биология“ - учението за живота и т.н.). Древните гърци не са говорили за " число ", а за съотношението на диагонала на квадрата към неговата страна. Ако вземем някаква мерна единица, да речем, "лакът" (гърците са имали такава единица) и построим квадрат със страна 1 (лакът), тогава площта на квадрата, изграден върху диагонала, ще бъде равна на 2. След това доказаният резултат може да се формулира по следния начин: страната на квадрата, чиято площ е равна на 2, е несъизмерима с единичен сегмент. В същото време, разбира се, възникна въпросът, в кой случай страната на квадрат, чиято площ е изразена с определено число, е съизмерима с единичен сегмент и в кой случай е несъизмерима? Питагореецът Теодор през 5 век. пр.н.е д., като разгледа числата от 3 до 17, показа, че страната на квадрат с площ, равна на произволно число, е съизмерима с единичен сегмент само ако това число е пълен квадрат, а ученикът на Теодор Теетет разшири този резултат до всички числа като цяло (доказателството като цяло е същото като в случай 2). Така че, ако коренът на всяко естествено число сам по себе си не е естествено число, тогава той е ирационален. По-късно Теетет построява доказателство за несъизмеримост с единичен сегмент от страната на куб с обем (т.е. ирационалност), освен ако не е куб с което и да е естествено число, а също така изгражда теория за ирационалност от различни видове -

Намира се в Елементи на Евклид.

Откриването на несъизмерими сегменти показа, че геометричните обекти - линии, повърхности, тела - не могат да бъдат идентифицирани с числа и че следователно е необходимо да се изгради тяхната теория отделно от теорията на числата. Което по принцип започват да правят гръцките математици.