Разпределение на пробните средства
Средната стойност на извадката Xv се нарича средна аритметична стойност на знака на извадковата популация.
Ако всички стойности Х1, Х2,…,Хn на знака на размера на извадката n са различни, тогава
Ако характерните стойности Х1, Х2,…, Хk имат честоти съответно n1, n2, …, nk и , n1 + n2 + … + nk = n, тогава
Xv=( n1*X1+ n2*X2+…+ nk * Xn)/n
Тези. средната стойност на извадката е среднопретеглената стойност на характеристиките с тегла, равни на съответните честоти.
Теоремата за централната граница (C.L.T.)е клас от теореми втеорията на вероятностите, които гласят, че сумата от голям бройнезависими случайни променливиимаразпределение, близко донормалното. Тъй като много случайни променливи в приложенията са суми от няколко случайни фактора, централните гранични теореми оправдават популярността на нормалното разпределение.Класически C.P.T.
Нека има безкрайна последователност от независими еднакво разпределени случайни променливи с крайно математическо очакване и дисперсия. Означаваме съответно последните μ и σ 2 . Позволявам . Тогава
чрез разпространение при.
Означавайки примерната средна стойност на първитеnстойности, т.е., можем да пренапишем резултата от централната гранична теорема в следната форма:
чрез разпространение при.
- класическата централна гранична теорема гласи, че суматаnот независими еднакво разпределени случайни променливи има разпределение, близко доN(nμ,nσ 2 ). Еквивалентно, той има разпределение, близко доN(μ,σ 2 /n).
- Тъй като функцията на разпределение на стандартната нормалнаразпределението е непрекъснато, сходимостта към това разпределение е еквивалентна на точковата сходимост на функциите на разпределение към функцията на разпределение на стандартното нормално разпределение. Задавайки , получаваме , където Φ(x) е функцията на разпределение на стандартното нормално разпределение.
- Класическата формулировка на централната пределна теорема се доказва чрез метода на характеристичните функции (теорема за непрекъснатостта на Леви).
C.P.T. Ляпунов
Нека основните допускания на C.P.T. Линдеберг. Нека случайни променливи Xi> имат краен трети момент. След това последователността
. Ако лимит
(Условие на Ляпунов),
чрез разпространение при.
Доверителни интервали за средната стойност за големи проби. Корекция за ограниченост на популацията.
За да се конструират доверителни интервали за параметрите на популациите, могат да бъдат приложени два подхода въз основа на стойността на точното (за даден размер на извадката n) или асимптотичното (за даден размер на извадката n) или асимптотичното (за n→∞) разпределение на характеристиките на извадката или някои функции от тях. Първият подход е за конструиране на интервални оценки на параметрите за малки извадки, вторият е за големи извадки.Теорема.Вероятността отклонението на извадковата средна стойност (или дял) от общата средна стойност (или дял) да не надвишава числото ∆>0 (по абсолютна стойност) е равна на: , където . ,Където
Доверителни интервали за средната стойност за малки проби. t-разпределение
Степен на свобода на ученика. Корекция за ограниченост на популацията.
Проблемът с конструирането на доверителен интервал за генералната средна стойност може да бъде решен, ако разглежданият признак има нормално разпределение в генералната съвкупност.Теорема.Акознак (случайна променлива) X има нормален закон на разпределение с параметри M(X)=x0, , т.е. , тогава средната стойност на извадката x pi всяко n (и не само когато n→∞) има нормален закон на разпределение.
Разпределение на ученика
Нека Z е нормална случайна променлива с M(Z)=0, (Z)=1 и V е променлива, независима от Z, която е разпределена по закона с k степени на свобода. След това стойността
Т=
Има разпределение, което се нарича t-разпределение или разпределение на Стюдънт (псевдоним на английския статистик У. Госет), с k степени на свобода.
И така, съотношението на нормализираната нормална стойност към квадратния корен на независима случайна променлива, разпределено съгласно закона хи-квадрат с k степени на свобода, разделено на k, се разпределя съгласно закона на Стюдънт с k степени на свобода.
Тъй като броят на степените на свобода се увеличава, разпределението на Student бързо се доближава до нормалното.