Разширение на интеграла към произволни ограничени фигури
Съдържание
Някои дефиниции[редактиране]
| Определение: |
| Формае ограничена, ако може да се побере в някакъв краен правоъгълник. |
Ще разгледаме интеграла нафигурата[math]E \subset \mathbb^2[/math] на функцията [math]z = f(x, y)[/math]
[math]\bar f(x, y) = \beginf(x, y) , & (x, y) \in E \\0, & (x, y) \notin E \\\end[/math]
[math]\forall \Pi \supset E[/math], [math]\iint\limits_E f = \iint\limits_\Pi \bar f[/math]
Това се проверява лесно въз основа на адитивността на интеграла върху правоъгълника.
Квадратура [редактиране]
| Определение: |
| [math]E \subset \mathbb^2[/math]е квадрат на Йордан, ако [math]\iint\limits_E 1[/math] съществува. Стойността на този интеграл се нарича "площ на фигурата". |
След това ще установим квадратурата на някои фигури.
| Твърдение: |
| Определение: |
| Крива [math]\Gamma[/math] е жорданова дъга, ако няма самопресичания и нейните параметрични уравнения са непрекъснати функции. |
| Лема (Йордания): |
| Всяка затворена Йорданова дъга разделя равнината на две части: ограничена - "вътрешна" и неограничена - "външна". |
| Теорема: |
За да го докажем, трябва да потопим фигурата в правоъгълник и да докажем, че съществува интеграл върху нея на функцията, равна на [math]1[/math] вътре във фигурата и [math]0[/math] извън фигурата. За да направим това, трябва да покажем, че [math]\omega(f, \tau) \to 0[/math] .
Нека [math]\Pi_[/math] е дял на [math]\Pi[/math] .
Нека разделим всички клетки на три групи.
- [math]1 : \Pi_ \subset E[/math] (вътрешен)
- [math]2 : \Pi_ \not\subset E[/math] (външен)
- [math]3[/math] - останалото (пресичане)
Означаваме с [math]\Sigma_1[/math] , [math]\Sigma_2[/math] и [math]\Sigma_3[/math] сумите от разликите на сумите на Дарбу за първата, втората и третата група, съответно.
Очевидно всяка клетка ще попадне точно в една от тези групи.
Тогава [math]\omega(\bar f, \tau) = \Sigma_1 + \Sigma_2 + \Sigma_3[/math]
В клетки от първата група [math]\bar f = 1[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Sigma_1 = 0[/math] .
На клетки от втората група [math]\bar f = 0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Sigma_2 = 0[/math] .
В третата група [math]\sup\bar f = 1[/math] , [math]\inf\bar f = 0[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\Sigma_3 = \sum\limits_ \Delta x_i \Delta y_j[/math] , където [math]\Pi_[/math] е в третата група.
[math]\Delta x_i \Delta y_j \leq \frac12(\Delta x_i^2 + \Delta y_j^2)[/math]
По дефиниция на ранга, като се има предвид, че рангът е дължината на диагонала на клетка,
[math]\omega(\bar f, \tau) \leq \frac12\operatorname \tau \cdot \sum\limits_ \sqrt[/math] .
Но дъгата е поправима, тоест има крайна дължина, следователно количеството, което е написано, е ограничено.
След това [math]\operatorname\tau \to 0 \Rightarrow \omega(\bar f, \tau) \to 0[/math]
От тази теорема веднага получаваме, че триъгълници, кръгове и други елементарни фигури са квадратни, тъй като техните граници са изправящи се дъги.
Невдигнати в квадрат фигури[редактиране]
Възниква въпросът: „Аима ли изобщо неквадратни фигури?" Лесно е да се разбере, че те съществуват. Нека построим аналог на функцията на Дирихле.
Трябва да вземете правоъгълник и да оставите само тези точки, чиито координати са рационални. Тази фигура няма площ, тъй като за всяка точка има точка до нея, така че поне една от нейните координати е ирационална. Следователно, когато конструирате дял, долната сума ще бъде нула, а горната ще бъде равна на [math]S[/math] . Няма интеграл, фигурата не е квадратна.
Квадратура на компакт [редактиране]
Имайки концепцията за повдигане на квадрат, можете да напишете условията за съществуването на интеграл вече по отношение на функцията [math]f[/math] .
| Теорема: |
Функцията е непрекъсната върху компакта [math]\Rightarrow[/math] и е равномерно непрекъсната.
Нека вземем малко [math]\Pi \supset E[/math] и да направим дял за него и [math]\omega(\bar f, \tau)[/math] .
Трябва да покажем, че тогава [math]\omega(\bar f, \tau) \to 0[/math] .
Подобно на доказателството, че фигурата е квадратна, ние разделяме всички клетки на три типа: [math]\Sigma_1[/math] (отвътре), [math]\Sigma_2[/math] (пресичат се) и [math]\Sigma_3[/math] (отвън).
Втората сума се изчислява, защото функцията е ограничена: [math]\Sigma_2 \leq 2 \cdot [/math] дължината на границата [math] \cdot M[/math] . С [math]\operatorname\tau \to 0[/math] това клони към нула.
Нека оценим [math]\Sigma_1[/math] . От еднаква непрекъснатост, [math]M_ - m_ \lt \varepsilon[/math] .
Сумата от площите на клетките няма да надвишава [math]\Pi[/math] . След това [math]\Sigma_1 \lt \varepsilon \Pi \to 0[/math] .
Така [math]\omega(\bar f, \tau) \to 0[/math] .
Адитивност [редактиране]
| Теорема (адитивност): |
| Доказателство: |
| [math]\triangleright[/math] |
Нека покажем, че адитивността се извлича от линейността на интеграла върху правоъгълник. [math]E = E_1 \cup E_2[/math] , всичко е на квадрат. [math]\iint\limits_ f = \iint\limits_ f[/math] , [math]\iint\limits_ f = \iint\limits_ f[/math] Нека [math]\Pi \supset E[/math] . Тогава това [math]\Pi[/math] е валидно и за двата интеграла. Имайте предвид, че [math]\bar f[/math] за [math]E_1[/math] и [math]\bar f[/math] за [math]E_2[/math] са различни функции. Например, първото на [math]E_2[/math] е нула, тъй като [math]E_1 \cap E_2 = \varnothing[/math] . Нека дефинираме [math]\bar f_1[/math] и [math]\bar f_2[/math] . [math]\bar f_1(x, y) = \beginf(x, y) & , (x, y) \in E_1\\0 & , (x, y) \notin E_1\\\end[/math] Дефинирайте [math]\bar f_2[/math] по същия начин. Тогава [math]\iint\limits_ f = \iint\limits_\Pi \bar f_1[/math] , [math]\iint\limits_ f = \iint\limits_\Pi \bar f_2[/math] . Нека добавим последните две равенства: [math]\iint\limits_ f + \iint\limits_ f = \iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2)[/math] Имайте предвид, че [math]\bar f_1 + \bar f_2 = \bar f[/math] . Това се проверява, като просто погледнете точката вътре в [math]E_1[/math] , вътре в [math]E_2[/math] и извън [math]E_1[/math] и [math]E_2[/math] . Така [math]\iint\limits_\Pi (\bar f_1 + \bar f_2) = \iint\limits_\Pi \bar f = \iint\limits_E f[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Забележка [редактиране]
Всъщност често, имайки предвид разглеждания случай,те започват да говорят за така наречените „крайни“ функции, тоест функции, които са равни на нула извън някакъв правоъгълник. Предимството им е, че се дават на цялата равнина. След това, [math]\iint\limits_^2> f = \iint\limits_\Pi f[/math] . Тогава всичко може да се изведе от линейността на интеграла.
Резюме [редактиране]
Ние обобщаваме предишната теорема за случая на [math]p[/math] части.
Нека [math]E = \bigcup\limits_^p E_j \Rightarrow \iint\limits_E f = \sum\limits_^p \iint\limits_ f[/math] и [math]E_j = \iint\limits_ dx dy[/math] е областта.
Помислете за аналог на интегралната сума:
[math]\sum\limits_^p f(P_j) \cdot E_j[/math] , [math]P_j \in E_j[/math] .
Освен това можем да наречем колекцията от такива части дял [math]E[/math] , да измерим максималния диаметър, да го наречем ранг, да го склоним към нула и да повдигнем въпроса за границата на такива суми, които не трябва да зависят от избора на [math]P_j[/math] .
Разликата между тази сума и сумата върху правоъгълника, съдържащ [math]E[/math] е, че тази сума е описана във вътрешни условия (няма нула извън фигурата). Здравият разум предполага, че желаният интеграл ще бъде границата на такива суми.
Ако например се изисква една функция да бъде равномерно непрекъсната върху [math]E[/math] , това може да се сравни със сумата от интеграли върху части от фигура.
[math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : p'' - p' \lt \delta \Rightarrow f(p'') - f(p') \lt \varepsilon[/math]
[math]\operatorname\tau \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\operatorname E_j \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\forall p'', p' \in E_j : p'' - p' \lt \delta[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]f( p'') - f(p') \lt \varepsilon[/math]
[math]\left\sum\limits_^p \iint\limits_ f - \sum\limits_^p f(P_j)\cdotE_j \right \leq[/math] [math]\sum\limits_^p \iint\limits_ f(P) - f(P_j) dx dy \leq[/math] [math]\varepsilon \sum\limits_^p E_ j = \varepsilon E \to 0[/math]
Сума от интеграли [math]=[/math] интеграл върху фигура [math]\Rightarrow[/math] [math]\iint\limits_E f = \lim\limits_\tau \to 0> \sum\limits_^p f(P_j) \cdot E_j[/math] .