Разстояние от точка до равнина
Разстояние от точка до равнина.
Разстоянието от произволна точка M0 (x0, y0, z 0 ) до равнината Ax + Vy + C z + D \u003d 0 е равно на:
Пример.Намерете уравнението на равнината, като знаете, че точката P(4; -3; 12) е основата на перпендикуляра, пуснат от началото към тази равнина.
Така че A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, използвайте формулата:
Пример.Намерете уравнението на равнина, минаваща през две точки P (2; 0; -1) и
Q (1; -1; 3) перпендикулярно на равнината 3x + 2y - z + 5 = 0.
Нормалният вектор към равнината 3x + 2y - z + 5 = 0 е успореден на желаната равнина.
Пример.Намерете уравнението на равнината, минаваща през точките A(2, -1, 4) и
В(3, 2, -1) перпендикулярна на равнинатах+y+ 2z– 3 = 0.
Желаното уравнение на равнината има формата: Ax+ By+ Cz+ D = 0, нормалният вектор към тази равнина (A, B, C). Векторът (1, 3, -5) принадлежи на равнината. Дадената ни равнина, перпендикулярна на желаната, има нормален вектор (1, 1, 2). защото точки A и B принадлежат на двете равнини и равнините са взаимно перпендикулярни, тогава
Така че нормалният вектор е (11, -7, -2). защото точка А принадлежи на желаната равнина, тогава нейните координати трябва да удовлетворяват уравнението на тази равнина, т.е. 11 x 2 + 7 x 1 - 2 x 4 + D = 0; D = -21.
Като цяло получаваме уравнението на равнината: 11x- 7y- 2z- 21 = 0.
Пример.Намерете уравнението на равнината, като знаете, че точката P(4, -3, 12) е основата на перпендикуляра, пуснат от началото към тази равнина.
Намерете координатите на нормалния вектор = (4, -3, 12). Желаното уравнение на равнината има формата: 4x– 3y+ 12z+ D = 0. За да намеритекоефициент D, заместваме координатите на точката P в уравнението:
16 + 9 + 144 + D = 0
Като цяло получаваме желаното уравнение: 4x– 3y+ 12z– 169 = 0
Пример.Дадени са координатите на върховете на пирамидата А1(1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),
Първо намираме нормалния вектор към лицето A1A2A3 като векторно произведение на векторите u.
= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Намерете ъгъла между нормалния вектор и вектора .
-4 - 4 = -8.
Желаният ъгъл g между вектора и равнината ще бъде равен на g = 90 0 - b .
5) Намерете обема на пирамидата.
(изд. 3).
Използваме формулата за уравнението на равнина, минаваща през три точки.
2x + 2y + 2z - 8 = 0
Когато използвате компютърната версия на “Курс по висша математика”, можете да стартирате програма, която ще реши горния пример за всякакви координати на върховете на пирамидата.
Ъгъл между равнините.
 |
Ъгълът между две равнини в пространството j е свързан с ъгъла между нормалите към тези равнини j 1 чрез връзката: j = j 1 или j = 180 0 - j 1, т.е.
cos j = ± cos j 1 .
Нека дефинираме ъгъла j 1 . Известно е, че равнините могат да бъдат дефинирани чрез отношенията:
, Където
( A 1 , B 1 , C 1 ), ( A 2 , B 2 , C 2 ). Намираме ъгъла между нормалните вектори от тяхното скаларно произведение:
.
Така ъгълът между равнините се намира по формулата:
Изборът на знака на косинуса зависи от това кой ъгъл между равнините трябва да се намери - остър или тъп в съседство с него.
Условия за успоредност и перпендикулярност
Въз основа на горната формула за намиране на ъгъла междуравнини, можете да намерите условията за успоредност и перпендикулярност на равнините.
За да са перпендикулярни равнините е необходимо и достатъчно косинусът на ъгъла между равнините да е равен на нула. Това условие е изпълнено, ако:
.
Равнините са успоредни, нормалните вектори са колинеарни: ïï .Това условие е изпълнено, ако: .