Редактиране Последователност, безпристрастност и ефективност на оценителите
,
следователно оценкитеs2и (σ 2 ) * * не са последователни оценки на дисперсията σ 2 на нормалното разпределение. В този случай разликата между математическото очакване на оценката θnи изчисления параметър θ, т.е.M(θn) − θ, се нарича отклонение на оценката.
Пример 7. За оценкатаs2, както следва от горното, отклонението е
.
Отклонението на оценкатаs2клони към 0 при.
Оценител, чието отклонение клони към 0, когато размерът на извадката отива към безкрайност, се казва, че еасимптотично безпристрастен. Пример 7 показва, че оценкатаs2е асимптотично безпристрастна.
Почти всички оценки на параметри, използвани във вероятностно-статистическите методи за вземане на решения, са или безпристрастни, или асимптотично безпристрастни. За безпристрастните оценители мярката за точността на оценката е дисперсията – колкото по-малка е дисперсията, толкова по-добра е оценката. За пристрастни оценки индикаторът за точност е очакването на квадрата на оценкатаM(θn− Θ) 2 . Както следва от основните свойства на математическото очакване и дисперсията,
, (3)
това означава, че средната стойност на квадратната грешка е сумата от дисперсията на оценката и квадрата на нейното отклонение.
За по-голямата част от оценките на параметрите, използвани във вероятностно-статистическите методи за вземане на решения, дисперсията е от порядъка на 1 /n, а отклонението е не повече от 1 /n, къдетоnе размерът на извадката. За такива оценки, за големиn, вторият член от дясната страна на (3) е пренебрежимо малък в сравнение с първия и приблизителното равенство е вярно за тях
, (4)
къдетоcе число,определена чрез метода за изчисляване на оценки Θnи истинската стойност на оценения параметър θ.
Третото важно свойство на метода за оценка,ефективност, е свързано с дисперсията на оценката. Ефективната оценка е безпристрастна оценка, която има най-малката вариация от всички възможни безпристрастни оценки на даден параметър. Доказано е, че са ефективни оценки на параметритеmи σ 2 на нормалното разпределение. В същото време за медианата на извадката е валидна ограничаващата връзка
.
С други думи, ефективността на медианата на извадката, тоест съотношението на дисперсията на ефективната оценка на параметъраmкъм дисперсията на безпристрастната оценка на този параметър за голямnе близо до 0,637. Именно поради относително ниската ефективност на медианата на извадката, средната аритметична извадка обикновено се използва като оценка на очакването за нормално разпределение.
Концепцията за ефективност се въвежда за безпристрастни оценители, за коитоM(θn) = θ за всички възможни стойности на параметъра θ. Ако не се изисква безпристрастност, тогава могат да бъдат определени оценки, които за някои θ имат по-ниска дисперсия и средна квадратна грешка от ефективните.
Пример 8. Помислете за "оценката" на математическото очакване. ТогаваD(m1) = 0, тоест винаги е по-малко от дисперсията на ефективната оценка. Математическото очакване на средната квадратна грешкаdn(m1) =m2, тоест получаваме. Ясно е обаче, че няма смисъл да се разглежда статистиката като оценка на математическото очакванеm.
Пример 9. По-интересен пример се разглежда от американския математик J. Hodges:
Ясно е, чеTnе последователна, асимптотично безпристрастна оценка на очакванетоmи тъй като е лесно да се изчисли,
Последната формула показва, че когатоTnне е по-лош (когато се сравнява със средната квадратна грешкаdn), а когатоm= 0 е четири пъти по-добър.
По-голямата част от оценките θn, използвани във вероятностно-статистическите методи, са асимптотично нормални, т.е. за тях са валидни граничните отношения:
за всекиx, където Φ(x) е стандартна функция на нормално разпределение с очакване 0 и дисперсия 1. Това означава, че за големи размери на извадката (практически няколко десетки или стотици наблюдения), разпределенията на оценките са напълно описани от техните математически очаквания и вариации, а качеството на оценките се описва от средните квадрати на грешкитеdn(θn).