редуващи се серии
Ред (1,5)
се нарича редуващо се, ако сред неговите членове има както положителни, така и отрицателни числа.
Ако серия (1.6)
съставен от модули от членове на ред (1.5) се сближава, тогава ред (1.5) също се сближава.
Редът (1.5) се наричаабсолютно сходен, ако редът (1.6) се сближава.
Конвергентен редуващ се ред (1.5) се наричаусловно сходен, ако редът (1.6) се разминава.
(1,7)
където Un > 0, n = 1, 2, …, се наричапроменлив знак.
Тест на Лайбниц.Ако членовете на променливата серия (1.7) отговарят на условията:
2) ,
тогава редът (1.7) се събира. Останалата част от серията rn
има знака на първия си член и е по-малък от него по абсолютна стойност, т.е. rn > > …;
2) =>
този ред се сближава условно.
Степенен ред. Област на конвергенция на степенни редове
Степенен ред е функционален ред на формата
, (1,8)
където Cn са коефициентите на степенния ред, Cn и R.
Ако a = 0, тогава ред (1.8) приема формата
(1,9)
Наборът от тези x стойности, за които степенната редица се сближава, се наричарегион на сближаванена степенната редица.
1). Ако степенният ред (1.9) се сближава за стойността x = x0 ≠ 0, тогава той се сближава и абсолютно за всички стойности на x, така че x x1.
Областта на конвергенцияна степенния ред (1.9) е определен интервал с център в точката x = 0.
Радиусът на конвергенцияна серията (1.9) е такова число R, че във всички точки x, за които x R, серията се разминава.
Радиусът на сходимост на степенния ред се намира по формулите
ако съществуват тези граници.
Определете зоната на сближаване на серията:
1.
=> интервал на конвергенция (-3, 3).
Нека изследваме сходимостта на реда в граничните точки:
а) x \u003d 3, получаваме серия - се разминава (хармонична серия);
б) x \u003d -3, получаваме серия - се сближава според критерия на Лайбниц:
1) 1 > > > … 2)
Зона на конвергенция – [-3; 3).
2.
Нека определим радиуса на сходимост на серията:
=>R=2,
x - 1 ред се разминава.
3) x \u003d -1, получаваме серия - редуваща се, се разминава според критерия на Лайбниц, тъй като . Зоната на конвергенция е (-1, 3).