Решаване на проблема с избора на топки от примери за урна и онлайн калкулатор
Общото изложение на проблема е приблизително * следното:
Една урна съдържа $K$ бели и $N-K$ черни топки (общо $N$ топки). От него се изваждат произволно и без подмяна $n$ топки. Намерете вероятността да бъдат избрани точно $k$ бели и $n-k$ черни топки.
Според класическата дефиниция на вероятността, желаната вероятност се намира с помощта на формулата за хипергеометрична вероятност (вижте обясненията тук):
*Нека обясня какво означава "приблизително": топките могат да бъдат изтеглени не от урната, а от кошницата или не черни и бели, а червени и зелени, големи и малки и т.н. Основното е те да са ДВА вида, след което считате единия вид условно за "бели топки", втория - за "черни топки" и можете да използвате формулата за решаване (разбира се, коригирайки текста на правилните места :)).
Видео урок и шаблон за Excel
Гледайте нашия видеоклип за решаване на задачи за топки в хипергеометричната вероятностна схема, научете как да използвате Excel за решаване на често срещани проблеми.
Примери за решения на проблеми с избора на топки
Пример 1.В една урна има 10 бели и 8 черни топки. На случаен принцип се избират 5 топки. Намерете вероятността сред тях да има точно 2 бели топки.
Заместете във формула (1) следните стойности: $K=10$, $N-K=8$, общо $N=10+8=18$, изберете $n=5$ топки, $k=2$ от тях трябва да са бели и съответно $n-k=5-2=3$ черни. Получаваме:
Пример 2.В една урна има 5 бели и 5 червени топки. Каква е вероятността да изтеглите произволно и двете бели топки?
Тук топките не са черно-бели, а червено-бели. Но това изобщо не влияе върху хода на решението и отговора.
Заместете във формула (1) следните стойности: $K=5$ (бели топки), $N-K=5$ (червени топки), общо $N=5+5=10$ (общо топки в урната), изберете $n=2$ топки, от които трябва да има $k=2$ бели исъответно $n-k=2-2=0$ червено. Получаваме:
Пример 3.В кошницата има 4 бели и 2 черни топки. От коша се вземат 2 топки. Каква е вероятността да са с еднакъв цвят?
Тук задачата става малко по-сложна и ще я решаваме стъпка по стъпка. Нека въведем желаното събитие $A = $ (Избрани топки от същия цвят) = (Изберете 2 бели или 2 черни топки). Нека представим това събитие като сбор от две несъвместими събития: $A=A_1+A_2$, където $A_1 = $ (избрани са 2 бели топки), $A_2 = $ (избрани са 2 черни топки).
Нека запишем стойностите на параметрите: $K=4$ (бели топки), $N-K=2$ (черни топки), общо $N=4+2=6$ (общо топки в кошницата). Изберете $n=2$ топки.
За събитието $A_1$ $k=2$ от тях трябва да са бели и съответно $n-k=2-2=0$ черни. Получаваме:
За събитието $A_2$, $k=0$ бели и $n-k=2$ черни топки трябва да бъдат избрани от избраните топки. Получаваме:
Тогава вероятността за желаното събитие (изтеглени топки от един и същи цвят) е сумата от вероятностите за тези събития: