Съдържание Въведение
Функционалното уравнение е уравнение, в което неизвестните са функции (една или повече). Например,
Някои функционални уравнения са ни познати от училищния курс, това саf (x) = f (-x), f (-x) = - f (x), f (x + T) = f (x),които определят такива свойства на функции като четно, нечетно, периодичност.
Проблемът за решаване на функционални уравнения е един от най-старите в математическия анализ. Те се появяват почти едновременно с началото на теорията на функциите. Първият истински разцвет на тази дисциплина е свързан с проблема за успоредника на силите. Още през 1769 г. д'Аламбер намалява обосновката на закона за събиране на силите до решението на функционалното уравнение
(1)
Същото уравнение и със същата цел е разгледано от Поасон през 1804 г. при известно предположение за аналитичност, докато през 1821 г. Коши (1789 - 1857) намира общи решения
на това уравнение, като се приеме само непрекъснатостта на f(x).
Дори добре известната неевклидова геометрична формула за ъгъла на успоредност
е получена от Н. И. Лобачевски (1792 - 1856) от функционалното уравнение
, (2)
който той решава по метод, подобен на метода на Коши. Това уравнение може да се сведе до уравнението
Редица геометрични проблеми, водещи до функционални уравнения, са разгледани от английския математик К. Бабидж (1792-1871). Той изучава например периодични криви от втори ред, определени от следното свойство за всяка двойка точки от кривата: ако абсцисата на втората точка е равна на ординатата на първата, тогава ординатата на втората точка е равна на абсцисата на първата. Нека такава крива е графиката на функциятаy =f(x);(х,f(х))е неговата произволна точка. След това, съгласно условието, точката с абсцисатаf(х)има x-ордината. следователно
Функционалното уравнение (3) се удовлетворява по-специално от функциите:
,
Едни от най-простите функционални уравнения са уравненията на Коши
Коши изучава подробно тези уравнения в своя (Курс на анализа), публикуван през 1821 г. Непрекъснатите решения на тези четири основни уравнения са съответно от вида
Може да има и други решения в класа на прекъснатите функции. Уравнение (4) е разгледано преди това от Лежандре и Гаус при извеждането на фундаменталната теорема на проективната геометрия и при изследването на закона за разпределение на вероятностите на Гаус.
Функционалното уравнение (4) отново е приложено от G. Darboux към проблема за паралелограма на силите и към основната теорема на проективната геометрия; основното му постижение е значително отслабване на предположенията. Знаем, че функционалното уравнение на Коши (4) характеризира линейна хомогенна функцияf(x) =axв класа на непрекъснатите функции. Darboux показа, че всяко решение, което е непрекъснато поне в една точка или ограничено отгоре (или отдолу) в произволно малък интервал, трябва също да има форматаf(x) =ax.По-нататъшни резултати за отслабване на предположенията следват бързо един след друг (интегрируемост, измеримост върху набор от положителни мерки и дори мажориране чрез измерима функция). Възниква въпросът: има ли поне една адитивна функция (т.е. удовлетворяваща (4)), която да е различна от линейната хомогенна. Намирането на такава функция наистина не е лесно! В хода на работата ще покажем, че за рационално x стойностите на всяка адитивна функция трябва да съвпадат със стойностите на някаква линейна хомогенна функция, т.е.f(x) =axза x
Много функционални уравнения не дефинират конкретна функция, а дефинират широк клас функции, т.е. изразяват свойство, което характеризира един или друг клас функции. Например функционалното уравнениеf(x+1) =f(x)характеризира класа от функции с период 1, а уравнениетоf(1+x) =f(1-x)характеризира класа от функции, симетрични по отношение на праватаx= 1и т.н.
Като цяло, за функционални уравнения, които не се свеждат до диференциал или интеграл, са известни няколко общи метода за решаване. След това ще бъдат разгледани някои техники, които позволяват решаването на функционални уравнения.