Схема на Хорнер
Не успяхме да постигнем цел 2 напълно, тъй като практическото решение на проблема за представяне на полином под формата на продукт почива в крайна сметка върху проблема с намирането на всички корени на полином. Но за полиноми със степен по-голяма от 4 този проблем като цяло може да бъде решен само приблизително, тъй като формулите за изчисляване на корени, използващи коефициентите на уравнение, което използва само аритметични операции, включително извличане на корени. В тази връзка особен интерес представляват формулите, отнасящи се до най-важните и често възникващи ситуации.
В съответствие със стратегията за приоритетно изследване на екстремни ситуации, ние разглеждаме проблема с разделянето на „най-простия“ полином. Като такъв полином вземаме полинома x.
V.13. Схема на Хорнер
x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 + : : : + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 =
= (x) x n 1 + b n 2 x n 2 + b n 3 x n 3 + : : : + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 :
Сравнявайки коефициентите при еднакви мощности, получаваме системата
> a n 2 = b n 3 b n 2
когато x n 1; при x n 2; когато x n 3; )
V.13. Схема на Хорнер
> a n 2 = b n 3 b n 2
когато x n 1; при x n 2; когато x n 3; )
Изчисляване по рекурсивни формули
се наричат изчисления на Horner.
V.14. Резултат от полиноми
Полиномните корени са един от най-популярните инструменти за решаване на задачи, които използват полиноми. Както е доказано от Е. Галоа, за полиноми от степен 5 и повече няма формула за намиране на корени. От особено значение са инструментите, с които е възможно да се решават някои проблеми, свързани с корените на полиномите, без изрично намиране на тези корени. Пример за такъв проблем еследваща задача.
Задача 1 . За два произволни полинома определете дали имат общи корени.
Тази задача може да се разглежда като резултат от прилагането на стратегията за преход от изучаването на отделен обект към изучаването на система от обекти.
V.14. Резултат от полиноми
Полиномните корени са един от най-популярните инструменти за решаване на задачи, които използват полиноми. Както е доказано от Е. Галоа, за полиноми от степен 5 и повече няма формула за намиране на корени. От особено значение са инструменти, които могат да се използват за решаване на някои проблеми, свързани с корените на полиноми, без да се намират изрично тези корени. Пример за такъв проблем е следният проблем.
Задача 1 . За два произволни полинома определете дали имат общи корени.
Ще решим тази задача в ситуация, в която и двата полинома върху дадено поле могат да бъдат разложени в произведение на полиноми от първа степен.
V.14. Резултат от полиноми
Задача 1 . За два произволни полинома определете дали имат общи корени.
Идеята за решаване на този проблем е да се въведе функция на тези полиноми, която изчезва тогава и само ако полиномите имат поне един общ корен. В този случай ние дефинираме функцията по отношение на корените на полиномите и получаваме израз за определянето й по отношение на коефициентите на полиномите.
V.14. Резултат от полиноми
Задача 1 . За два произволни полинома определете дали имат общи корени.
Идеята за решаване на този проблем е да се въведе функция на тези полиноми, която изчезва тогава и само ако полиномите имат поне един общ корен. В този случай ние дефинираме функцията чрез корените на полиномите и получаваме израз зазадаването му чрез коефициентите на полиномите.
Като такава функция е естествено да се вземе произведението на всички разлики между корените на първия и втория полином.
V.14. Резултат от полиноми
Задача 1 . За два произволни полинома определете дали имат общи корени.
Като такава функция е естествено да се вземе произведението на всички разлики между корените на първия и втория полином. Например за полиноми (x 1) (x 3) (x + 2) 2 и (x 4) (x 2) такъв продукт има формата:
(1 4)(1 2)(3 4)(3 2)( 2 4)( 2 2)( 2 4)( 2 2)
V.14. Резултат от полиноми
Задача 1 . За два произволни полинома определете дали имат общи корени.
Като такава функция е естествено да се вземе произведението на всички разлики между корените на първия и втория полином. Например за полиноми (x 1) (x 3) (x + 2) 2 и (x 4) (x 2) такъв продукт има формата:
(1 4)(1 2)(3 4)(3 2)( 2 4)( 2 2)( 2 4)( 2 2)
Изразът ( 2 4) ( 2 2) беше повторен два пъти в тази работа, тъй като 2 е корен от кратност 2. В този случай оригиналните полиноми нямат общи корени, следователно разглежданият продукт на всички разлики между корените на първото и корените на второто уравнения е различен от нула.
V.14. Резултат от полиноми
Задача 1 . За два произволни полинома определете дали имат общи корени.
Като такава функция е естествено да се вземе произведението на всички разлики между корените на първия и втория полином. Различна ситуация възниква например за полиномите (x 1)(x 3)(x + 2) 2 и (x 4)(x + 2), за които
(1 4)(1 2)(3 4)(3 2)( 2 4)( 2 ( 2))( 2 4)( 2 ( 2)) = 0:
V.14. Резултат от полиноми
Задача 1 . За два произволни полинома определете дали имат общокорени.
Като такава функция е естествено да се вземе произведението на всички разлики между корените на първия и втория полином. Различна ситуация възниква например за полиномите (x 1)(x 3)(x + 2) 2 и (x 4)(x + 2), за които
(1 4)(1 2)(3 4)(3 2)( 2 4)( 2 ( 2))( 2 4)( 2 ( 2)) = 0:
Оказа се, че за да се изрази този продукт чрез коефициенти на полиноми, е по-удобно този израз да се „коригира“ с фактор, както е направено във формулата (7) по-долу.