Тензори в евклидовото пространство, тензор на метричното пространство, повишаване и понижаване на индекса,

От аксиомите на евклидовото пространство следва, че то може да се дефинира като такова линейно пространство, в което е дадена положително-определена квадратна форма. С други думи, евклидовото пространство е линейно пространство, в което е даден симетричен тензорgijот тип, така чеgijx i x j> 0 за всички ненулеви вектори.

Терзорътgijсе нарича основен метричен тензор на пространството. Ако е основата на пространствотоEn, тогава . Числатаxi=gikx k(конволюция на метричния тензор с вектора) се наричат ​​ковариантни координати на вектора за разлика от неговите контравариантни координатиx i. Ковариантните координати са проекции на вектор върху базисни вектори, защото . В ортонормална основаxi=x i.

Компонентите на матрицатаg ij, обратната на матрицатаgij, образуват двойно контравариантен тензор, наречен контравариантен метричен тензор. Формулитеx j=g ij xiса валидни.

Индекс нагоре и надолу

Преходът от контравариантните координати на вектора към неговите ковариантни координати по формулитеxi=gikx kсе нарича понижаване на индекса, а преходът от ковариантни към контравариантни координати по формулитеx j=g ij xiсе нарича повишаване на индекса.

Операцията за понижаване или повишаване на индекса в евклидовото пространство се прилага към тензори от всякаква структура. Например, .

Дължина на вектора. Ъгъл между векторите

---