Теоремата на Виета и малко история

Теорема на Vieta - тази концепция е позната на почти всички от ученически дни. Но наистина ли е „познато“? Малко хора го срещат в ежедневието. Но не всички, които се занимават с математика, понякога напълно разбират дълбокия смисъл и голямото значение на тази теорема.

Теоремата на Vieta значително улеснява процеса на решаване на огромен брой математически проблеми, които в крайна сметка се свеждат до решаването на квадратно уравнение:

ax2+bx+c=0, където a≠0.

Това е стандартната форма на квадратно уравнение. В повечето случаи квадратното уравнение има коефициентиa,b иc, които могат лесно да бъдат опростени, като се разделят наa. В този случай ще стигнем до формата на квадратно уравнение, наречено намалено (когато първият коефициент на уравнението е равен на 1):

x2+px+q=0

Именно за този вид уравнения теоремата на Vieta е удобна за използване. Основното значение на теоремата е, че стойностите на корените на даденото квадратно уравнение могат лесно да бъдат определени устно, като се знае основната връзка на теоремата:

сумата от корените е равна на числото, противоположно на втория коефициент (т.е. -p);
произведението е равно на третия коефициент (т.е. q).

А именноx1+x2= -p иx1*x2= q.

Решението на повечето задачи в училищния курс по математика се свежда до прости двойки числа, които лесно се намират с минимални умения за устно смятане. И не би трябвало да създава проблеми. Съществуващата обратна теорема на Vieta позволява лесно да се възстановят нейните коефициенти и запис в стандартна форма от наличната двойка числа, които са корените на някакво квадратно уравнение.

Възможността да се използва теоремата на Vieta като инструмент значително улеснява решаването на математически и физически проблеми в курсасредно училище. Особено това умение е незаменимо при подготовката на гимназистите за изпита.

След като разбра значението на такъв прост и ефективен математически инструмент, човек неволно мисли за човека, който пръв го е открил.

Франсоа Виет е известен френски учен, който започва кариерата си като адвокат. Но очевидно математиката е неговото призвание. Докато беше на кралска служба като съветник, той стана известен с това, че успя да прочете прихванато криптирано съобщение от краля на Испания до Холандия. Това дава възможност на френския крал Хенри III да разбере за всички намерения на своите противници.

Постепенно запознавайки се с математическите познания, Франсоа Виет стига до извода, че трябва да има тясна връзка между най-новите изследвания на "алгебристите" по това време и дълбокото геометрично наследство на древните. В хода на научните изследвания той развива и формулира почти цялата елементарна алгебра. Той е първият, който въвежда използването на буквални стойности в математическия апарат, като ясно разграничава понятията: число, величина и техните взаимоотношения. Виет доказа, че чрез извършване на операции в символна форма е възможно да се реши задачата за общия случай, за почти всяка стойност на дадени количества.

Неговото изследване за решаване на уравнения с по-високи степени от втората доведе до теорема, която сега е известна като обобщената теорема на Виета. Има голямо практическо значение, а приложението му дава възможност за бързо решаване на уравнения от по-висок ред.

Едно от свойствата на тази теорема е следното: произведението на всички корени на уравнение от n-та степен е равно на неговия постоянен член. Това свойство често се използва при решаване на уравнения от трета или четвърта степен, за да се намали редът на полином. Ако полиномът има n-тостепените имат цели числа, те могат лесно да бъдат определени чрез прост метод за избор. И след това, след като разделим полинома на израза (x-x1), получаваме полинома (n-1)-та степен.

В крайна сметка бих искал да отбележа, че теоремата на Vieta е една от най-известните теореми в училищния курс по алгебра. И името му заема достойно място сред имената на велики математици.