Управленски задачи
При проблеми с управлението на терминала критерият за качество включва оценка на терминала, която характеризира статичните свойства на системата, свойствата на системите, техните грешки.
Нека състоянието на динамичната система се описва с диференциално уравнение от вида =. Критерият за качество включва терминала и интегралните компоненти:
Ще приемем, че крайното време не е дадено и функциятаPе поне два пъти непрекъснато диференцируема по отношение наxиt.
Поради товаPможе да бъде представено по следния начин:
Заместете този израз във функцията:
Тъй като и са дадени, тогава = const.
Контролът, който минимизира този функционал, не зависи от константата. Следователно можем да разглеждаме този проблем като контролен проблем с функционалния (*)
Задачата е сведена до задача с интегрален критерий за качество, чието решение вече е известно. Нека запишем условието на принципа на максимума за дадената задача.
Нека е оптималният процес, който отвежда системата от състояние до. Тогава има функция и const, за която оптималната траектория се определя от решението на следната система от управляващи функции:
Тук u е хамилтонианът и допустимата функция за задачата с критерия за ефективност(*).
Хамилтониан за намаления проблем (**)
Изпълнени са и следните условия:
1. Максимално условие
2. Условие за напречност
3. Поведението на Хамилтън по оптималната траектория. Ако tf не е зададен:
ако е дадено tf:
Нека въведем функция от следния вид:
Като се вземе предвид тази функция, H (**) ще приеме следната форма
Където H е хамилтонианът на първоначалния проблем, който се дефинира, както следва:
(***)
Помислете какво състояниеудовлетворява вектора (t). За да направим това, ние диференцираме състоянието му по отношение на времето:
Така получихме условие (b) за първоначалния проблем.
Получаваме условие (а). От съотношението (***) следва, че
Така се получава и условие (а).
1. Помислете каква форма приема максималното условие по отношение на хамилтониана на оригиналната система.
Има условие
за дадената система. И тъй като хамилтонианите на оригиналната и редуцираната система са свързани чрез отношението
и управлението не е включено в, тогава максималното условие се запазва и за хамилтониана на оригиналната система
2. Извеждаме условието за напречност на оригиналната система. Съществува условие за напречност за намалената система
От него е необходимо да се изведе условието за напречност на оригиналната система.
Използвайки :
Ако се разглежда проблем с две точки, т.е. целевата област е точка, тогава условието за напречност се определя само от крайния компонент
Тъй като обикновено се приема, че е -1, условието за напречност приема следната форма:
3. Поведение на хамилтониана по оптималната траектория.
Имаме израз за хамилтониана на системата по оптималната траектория. Като се има предвид, че хамилтонианът на оригиналната и редуцирана система е свързан помежду си, както следва:
можем да получим израз за хамилтониана на оригиналната система.
Когато не е зададено
Ако се разглежда проблемът на Майер, в който функционалът се състои от една крайна компонента, тогава Хамилтонианът и функцията на Хамилтон съвпадат.
Следователно всички изрази за хамилтониан ще бъдат валидни и за хамилтонианова функция. Няма други разлики между проблема на Майер и току-що разгледания проблем.
Да формулирамеобщ принцип на максимума.
Нека е дадена динамична система, която се описва с диференциално уравнение от вида
Дадена е площта на началните и крайните състояния и допустимите х контролиU.
Ако е оптимален процес, в смисъла на минимума на функционалното
(+)
тогава има и константа, по отношение на която оптималната траектория се определя чрез решаване на следната система от диференциални уравнения
къдетоHе хамилтонианът на системата, който има формата
Изпълнени са и следните условия:
1. Максимално условие
2. Условия на напречност
3. Поведението на хамилтониана по оптималната траектория се определя от отношението
ако не е дадена, формула А
ако е дадена формула B
Забележка.Ако се постави проблемът за максимума на функционала (+), тогава формулата на принципа на максимума остава, но константата се приема за неотрицателна (обикновено се задава равна на единица).