Въведение в петизмерната теория на относителността
ПЕТ-ИЗМЕРНА ТЕОРИЯ ЗА КАЛУС И ПРОЕКТИВНА
Теория на Калуса. Нека се спрем на още един опит за създаване на геометрия (принадлежаща на Калуза), в която както гравитационният, така и електромагнитният потенциал биха определяли структурата на пространството). Докато Weil следва пътя на създаването на не-Риманова геометрия, Calusa решава да увеличи броя на компонентите на метричния тензор чрез промяна на броя на пространствените измерения. Той предположи, че в допълнение към четирите измерения на физическото пространство има и пето измерение, което няма пряко физическо значение.
Броят на компонентите на симетричния тензор от втори ранг в i измерения е
Следователно в петизмерно пространство метричният тензор има петнадесет компонента. За да вземе предвид четириизмерната природа на физическия свят, Калуза приема, че при подходящ избор на координати компонентите на метричния тензор няма да зависят от петата координата. Накрая, за да намали броя на променливите с една, той приема, че в координатната система, където променливите на полето не зависят от ?8, компонентът на метричния тензор с индекси (5,5) е постоянен и е равен на единица. От тези предположения Калуза показа, че поне като първо приближение четиринадесетте диференциални уравнения са:
O = 0 (p., V - 1,5, с изключение на Ois = O) (17,2)
i) Tb. Калуца, Сицунгсбер. д. Пройс. акад. д. Wiss., стр.
966 (1921). са еквивалентни на четиринадесет полеви уравнения (12.55), определящи гравитационни и електромагнитни полета, ако компонентите на метричния тензор, в който един индекс е равен на 5, се идентифицират с електромагнитни потенциали.
Скоро беше показано, че тази еквивалентност не е приблизителна, а точна, ако загравитационните потенциали приемат "собствени" комбинации от компонентите на метричния тензор.
За да направим по-лесно сравняването на теорията на Калуза с други теории, първо ще развием общ формализъм, който се прилага към някои други теории, а след това ще се върнем към строгата формулировка на предположенията на Калуза.
Четиримерен формализъм в петизмерно пространство. Да разгледаме петизмерно пространство с координати Є" (a = 1.5) и метричния тензор Y11lv. По-късно в тази глава и в глава XVIII се приема, че гръцките индекси варират от 1 до 5, докато латинските индекси варират от 1 до 4. В това пространство въвеждаме четири параметъра xa (a = 1.4), които са функции на координатите S®. Производните на тези четири параметъра по отношение на координатите xa a трябва да бъдат линейно независими по всякакъв начин:
3 „„ a ^ ^ ^. Zlg". i • , -Xa '-x "' F 0:
a^aaazLl > "j .i3, a4 / '
за поне една от стойностите?.
В петизмерно пространство тези четири параметъра определят набора от криви Xa = const. Една от тези криви минава през всяка точка в петизмерното пространство. Ще разглеждаме тези криви като нова инвариантна структура в петизмерното пространство. Тази структура остава непроменена при "параметрични трансформации"
Нека покажем, че е възможно да се въведат количества, които се трансформират при параметрични трансформации като четириизмерни тензори. Във физическата интерпретация, на която ние
i (17.3) спрете по-долу, многообразието, характеризирано с параметрите xa, ще се разглежда като физическо пространство; Следователно, ние изследваме как геометрията на пространството x" е свързана с геометрията на обичайното четириизмерно риманово пространство.
Наборът от функции се характеризира с индекси, вариращи от 1 до4, и трансформирани при параметрични трансформации, като четиримерни тензори, ще наричаме тензор" (съкратено от "тензор на параметъра"). Xa производни по отношение на координатите
са контравариантни ^-вектори и ковариантни (обикновени) вектори. Използвайки тези количества, може да се въведе векторно поле A*, определено от вектори, допирателни към кривите AT0 = Const, което удовлетворява уравненията
Тези пет условия напълно определят А-полето.
С помощта на и A1 е възможно да се дефинира полето „реципрочно Y1S Ya“, което отговаря на следните условия:
Тези двадесет условия НАПЪЛНО определят Wa-
Всеки (обикновен) вектор Vi или Wp може да бъде свързан със скаларен или p-вектор:
Скаларът е частта от V или W, която е успоредна на A, докато p-векторът е частта, нормална към A. От друга страна, p-векторът Ua може да бъде свързан с обичайния вектор
(условието за сумиране важи и за p-индексите); този вектор е ортогонален на A, независимо от избора на Ua (поради последните четири уравнения (17.7)).
Метричният тензор Yb3 може да бъде свързан с ковариантния p-тензор
което ще наричаме метрика/тензор или p-метрика.
Смесените y-стойности от двата типа и векторът Aa ни позволяват да разложим всяко петизмерно отношение на "четириизмерно" и скаларно отношение. Смесените y_стойности "проектират" петизмерното пространство върху нашето четириизмерно. Ако техният продукт се сгъне върху ^-индекси, получаваме типичния проективен тензор Предишен 82 83 84 85 86 87 .. 91 >> Следващ