1 3. Завършване на комплекти
ла . По същество символите , , , I , U са само съкратени (и общоприети в математиката) за съкращаване и опростяване на нотация.
Освен това използването на тези термини и знаци прави геометрията и алгебрата свързани, показва единството на математиката, общността на нейните методи и терминология.
Задачи и упражнения
26 . Докажете, че за крайните множества равенството е вярно
A U B U C \u003d A + B + C - A I B - A I C - B I C + A I B I C.
27 . На равнината са дадени три точки A, B и C, които не лежат на една права. Тези точки са средните точки на три страни на някакъв изпъкнал четириъгълник. Посочете набора от точки, където може да лежи средата на четвъртата страна. Посочете набора от точки, където могат да лежат върховете на този четириъгълник.
28. Дадени са три точки A, B и C. Всички възможни линии са начертани през точка С. Опишете множеството от проекции на отсечката AB върху тези прави.
29. Сред математиците всеки седми е философ, а сред философите всеки десети е математик. Кои са повече - философи или математици?
трийсет . Докажете, че ако A I B = C, то (A I B) U C = (A U B) I C.
1 3. Завършване на комплекти
Преди да преминем към разглеждането на следващата операция, ние посочваме един "парадокс" на теорията на множествата; открит е от известния английски математик Бертран Ръсел.
Обикновено наборите не съдържат себе си като елемент. Например множеството A от всички цели числа съдържа само цели числа като елементи; тъй като самото А не е цяло число, а е набор от цели числа, А не съдържа себе си като елемент. Нека се съгласим да наричаме такива комплекти "обикновени". Но може да има и комплекти, които съдържатсебе си като елемент. Помислете, например, за набор S, дефиниран по следния начин: "S съдържа като елементи всички множества, които могат да бъдат определени от изречение с по-малко от двадесет думи." Тъй като самото множество S е определено от изречение, съдържащо по-малко от двадесет думи, следва, че то е елемент от множеството S. Ние наричаме такива комплекти „извънредни“. Както и да е, повечето комплекти
- обикновени; нека се опитаме да не се занимаваме с неправилно поведение на извънредни комплекти и да разгледаме само много
идентичността на всички обикновени множества. Нека го обозначим с буквата С. всеки -
Всеки елемент от множеството C е множество, освен това обикновено множество. Но възниква въпросът: обикновено или необикновено е самото множество C? Със сигурност трябва да е или едното, или другото. Ако C е обикновено множество, тогава то съдържа себе си като елемент, тъй като C се дефинира като множество от всички обикновени множества. Ако това е така, тогава C е извънредно множество, тъй като по дефиниция множествата се наричат извънредни, ако съдържат себе си като елементи -
Преговор 3. Операции върху множества
че . Получава се противоречие. Следователно C трябва да е извънредно множество. Но тогава множеството C съдържа себе си като елемент; тъй като C е извънредно множество, това противоречи на дефиницията на C като множество от всички обикновени множества. И така, виждаме, че самото предположение за съществуването на множеството C е самопротиворечиво.
Парадоксът на Ръсел, описан по-горе, не е единственият открит в теорията на множествата. Тези парадокси донякъде обезсърчават математиците, които след успехитепостигнато от Г. Canto-rum, в състояние на някаква еуфория. Как да избегнем тези противоречия? Очевидно е, че трябва да се ограничим до разглеждането само на такива комплекти, които са ясно дефинирани и без противоречия (помнете фризьора в параграф 7). Изходът беше намерен в това, че във всеки случай, във всеки аргумент се разглежда някакво фиксирано добре дефинирано множество U, наречено универсално множество, и само елементи (и подмножества) от това универсално множество са предмет на изследване. Ако разсъждението не надхвърля тези граници, то не води до противоречие. В разговор 1 3 ще се върнем към въпроса за непоследователността и последователността, но засега ще се ограничим до казаното.
Да вземем например следния аргумент на Кантор, който направи много силно впечатление на математиците. Алгебрични числа, кн. д. числа, които са корени на алгебрични уравнения с рационални коефициенти, има само изброимо множество (вижте задача 1 5). В същото време множеството от всички реални числа е неизброимо. Следователно, освен алгебрични числа, има реални числа, които не са алгебрични; те се наричат трансцендентални. Освен това има значително повече трансцендентни числа от алгебричните: мощността на множеството от всички трансцендентни числа е еднаква. До този момент математиците бяха открили само много малко трансцендентални числа и дори това беше свързано със значителни трудности. Кантор даде на математическия свят цял континуум от трансцендентални числа! Но правилно ли е това разсъждение на Кантор, има ли противоречие в него? Определено правилно, тъй като човек може да вземе като U множеството от всички реални числа и всички аргументи на Кантор относно неизброимостта (и приложението към трансценденталнитечисла) се извършват само в рамките на това универсално множество, без да излизат извън неговите граници.
Сега можем да преминем към следващата операция върху набори. Ще приемем, че някакво универсално множество U е фиксирано. В останалата част от този подраздел думата "набор" ще означава някакво подмножество на това универсално множество U. За всяко множество A нека означим с c A допълнението към множеството A , т.е. д. набор от всички елементи
компоненти x U, които не принадлежат на множеството A (нотацията c A идва от английската дума complement).