4.3. Начислена сума
Споразуменията за заем понякога предвиждат променящи се във времето лихвени проценти, наречени „плаващи“ лихви. Ако това са прости ставки, тогава сумата, натрупана в края на срока, се определя от израза
Пример. Договорът за заем предвижда следната процедура за изчисляване на лихвата: първата година - процентът е 16%, през всеки следващ шест месеца процентът се увеличава с 1%. Необходимо е да се определи коефициентът на натрупване за 2,5 години:
В практическите задачи понякога се налага решаването на второстепенни проблеми - определяне на периода на натрупване или размера на лихвения процент под една или друга форма, с всички останали посочени условия.
Продължителността на периода на натрупване в години или дни може да се определи от решението на уравнението:
Пример. Нека определим продължителността на заема в дни, така че дългът, равен на 1 милион рубли, да нарасне до 1,2 милиона рубли, при условие че се начислява проста лихва в размер на 25% годишно (K = 365 дни).
По същия начин може да се определи стойността на лихвения процент. Такава необходимост от изчисляване на лихвения процент възниква при определяне на доходността на дадена заемна операция и при сравняване на договори според тяхната доходност в случаите, когато лихвените проценти не са изрично посочени. Подобно на първия случай, получаваме
Пример. Договорът за заем предвижда погасяване на задължение в размер на 110 милиона рубли. след 120 дни. Първоначалният размер на дълга е 90 милиона рубли. Необходимо е да се определи доходността на заемната операция за заемодателя под формата на годишен лихвен процент. Получаваме
При използване на "плаващи" сложни лихвени проценти, натрупаната сума се изчислява по формулата
Тъй като коефициентът на натрупване за прости и сложни залози е различен, се наблюдава следният модел.
Ако срокъттогава по-малко от година
Лихвата може да се начислява (капитализира) не веднъж, а няколко пъти в годината - за шест месеца, тримесечия, месеци и
Графично тази ситуация е показана на фиг. 4.1.
Фиг. 4.1. Размерът на начисляването при изчисляване на проста и сложна лихва
и т.н. Тъй като договорите по правило определят годишния процент, формулата за начисляване на сложната лихва изглежда така:
Пример. Първоначалната сума от 1 милион рубли. поставени на депозит за 5 години при сложна лихва при годишна лихва от 20%. Лихвата се изчислява на тримесечие. Нека изчислим натрупаната сума:
Очевидно колкото по-често се начислява лихва, толкова по-бързо протича процесът на натрупване.
При разработването на условията за кредитни сделки, използващи сложна лихва, често е необходимо да се решават обратни задачи - изчисляване на продължителността на заем или кредит (срок на натрупване) или лихвен процент.
При начисляване по комбиниран годишен процент и по номинален процент получаваме
Пример. Нека определим за какъв период (в години) сумата, равна на 75 милиона рубли, ще достигне 200 милиона, когато лихвата се начислява при сложна ставка от 15% веднъж годишно и на тримесечие:
Стойността на лихвения процент при начисляване на сложна лихва ще се определя от уравненията
Пример. Сметката е закупена за 100 хиляди рубли, сумата за обратно изкупуване е 300 хиляди рубли, срокът е 2,5 години. Определете нормата на възвръщаемост. Получаваме
Пример. Нека определим броя на годините, необходими за увеличаване на първоначалния капитал 5 пъти, прилагайки проста и сложна лихва в размер на 15% годишно: за проста лихва получаваме