Абстрактен пермутационен полиедър
В математикатапермутабилен политопот порядъкnе (n− 1)-мерен изпъкнал политоп, вграден вn-мерно евклидово пространство, което е изпъкналата обвивка на всичкиn! точки, получени чрез пермутация на координатите на вектора (1, 2, 3, …,n).
Тясно свързано понятие е полиедърът на Биркхоф, дефиниран като изпъкнала обвивка на пермутационни матрици. В една по-обща ситуация V.-J. Bowman през 1972 г. използва термина „пермутационен политоп“ (в оригинала той пише на английски „permutation polytope“) за всеки политоп, чиито върхове са в едно-към-едно съответствие с пермутации на някакво множество.
2. Върхове, ръбове и лица
Пермутационният полиедър от редnимаn! върхове, всеки свързан сn− 1 други върхове, така че общият брой на ръбовете е (n− 1)n!/2. Всеки ръб има дължина √2 и свързва два върха, получени един от друг чрез пермутиране на две координати, при условие че стойностите на тези координати се различават с единица. [2]
Пермутационният полиедър има един аспект за всяко непразно правилно подмножествоSна множеството n>, състоящо се от всички върхове, за които всички координати с числа, включени вS, имат по-малки стойности от всички координати с числа, които не са включени вS. Това означава, че общият брой фасети е 2n− 2.
3. Други имоти
Пермутационният политоп е върхово-транзитивен, а именно: симетричната групаSnдейства върху множеството от върхове на пермутационния политоп чрез пермутации на координати.
Пермутационният полиедър е зонотоп; паралеленкопие на пермутационния полиедър може да се получи като сумата на Минковскиn(n− 1)/2 от сегменти с права линия, свързващи всички двойки вектори на стандартния базис. [3]
Неориентираната графа, образувана от върховете и ръбовете на пермутационния полиедър, е изоморфна на графиката на Кейли на симетричната група. [1]
4. Теселация на пространството
Пермутационният политоп от редnсе съдържа изцяло в (n− 1)-мерната хиперравнина, състояща се от всички точки, чиято сума от координати е равна на
Освен това, тази хиперравнина може да бъде покрита с безкраен брой успоредни копия на пермутационния полиедър. Всяко от тези копия се различава от оригиналния пермутационен полиедър с елемент от някаква (n− 1)-мерна решетка, образувана отn-мерни вектори, всички координати на които са цели числа, сумата им е равна на нула и всички координати принадлежат към един и същ клас от остатъци по модулn:
Например пермутационният полиедър от порядък 4, показан на фигурата, теселира 3-измерното пространство посредством паралелни транслации. Тук 3-мерното пространство се разглежда като афинно подпространство на 4-мерното пространствоR4 с координатиx,y,z,w, което се формира от четири реални числа, чиято сума е равна на 10, т.е.
Лесно е да се провери, че за всеки от следните четири вектора
сумата от координатите е нула и всички координати са съвпадащи с 1 по модул 4. Всеки три от тези вектори генерират решетка от паралелни транслации.
Построените по този начин плочки от пермутационни полиедри от ред 3 и 4 са съответно правилни шестоъгълни плочки и пресечени октаедрични плочки.
6. Забележки
- ↑12Günter M. Ziegler, `Lectures on Polytopes', Springer-Verlag, 1995.
- P.Gaiha и S.K.Gupta, „Съседни върхове на пермутоедър“, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 32, брой 2, стр. 323-327 (1977).
- Günter M. Ziegler, `Lectures on Polytopes', Springer-Verlag, 1995. P. 200.
Литература
- Bowman, V. J. (1972), "Permutation polyhedra",SIAM Journal on Applied MathematicsТ. 22 (4): 580–589, doi: 10.1137/0122054, .
- Gaiha, P. & Гупта, С. К. (1977), „Съседни върхове на пермутоедър“,SIAM Journal on Applied MathematicsТ. 32 (2): 323–327, doi: 10.1137/0132025, .
- Guilbaud, Georges-Théodule & Rosenstiehl, Pierre (1963), "Алгебричен анализ на анкета",Математика и хуманитарни наукиТ. 4:9–33, .
- Le Conte de Poly-Barbut, Cl. (1990), „Диаграмата на пермутоедралната решетка е пресечната точка на диаграмите на два директни продукта от общия ред“,Математика, компютърни науки и хуманитарни наукиТ. 112: 49–53.
- Santmyer, Joe (2007), „За всички възможни разстояния погледнете към пермутоедъра“,Mathematics MagazineТ. 80 (2): 120–125,
- Schoute, Pieter Hendrik (1911), „Аналитично третиране на политопите, редовно извлечени от правилните политопи“,Verhandelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen te AmsterdamТ. 11 (3): 87 стр. Googlebook, 370—381
- Ziegler, Günter M. (1995),Лекции за политопи, Springer-Verlag, Дипломни текстове по математика 152
- Гарбер, А.И. & Поярков, А.П. (2006), "О перестановочных многогранниках",Вестник МГУ, серия 1(№ 2): 3–8 .