Докладвайте аксиоматичния метод в геометрията
Аксиоматичният метод се появява в древна Гърция и сега се използва във всички теоретични науки, предимно в математиката.
Аксиоматичният метод за изграждане на научна теория е следният: разграничават се основните понятия, формулират се аксиомите на теорията и всички други твърдения се извеждат по логичен начин въз основа на тях.
Основните понятия се разграничават, както следва. Известно е, че едно понятие трябва да се обясни с помощта на други, които от своя страна също се дефинират с помощта на някои добре познати понятия. Така стигаме до елементарни понятия, които не могат да бъдат дефинирани с други. Тези понятия се наричат основни.
Когато доказваме твърдение, теорема, ние разчитаме на предпоставки, които се считат за вече доказани. Но тези предпоставки също бяха доказани, те трябваше да бъдат обосновани. В крайна сметка стигаме до недоказуеми твърдения и ги приемаме без доказателства. Тези твърдения се наричат аксиоми. Наборът от аксиоми трябва да бъде такъв, че разчитайки на него, човек може да докаже допълнителни твърдения.
След като отделихме основните понятия и формулирахме аксиомите, извеждаме теореми и други понятия по логичен начин. Това е логическата структура на геометрията. Аксиомите и основните понятия формират основите на планиметрията.
Тъй като е невъзможно да се даде едно-единствено определение на основните понятия за всички геометрии, основните понятия на геометрията трябва да се определят като обекти от всякакво естество, които отговарят на аксиомите на тази геометрия. По този начин, при аксиоматичното изграждане на геометрична система, ние започваме от определена система от аксиоми или аксиоматика. Тези аксиоми описват свойствата на основните понятия на геометрична система и ние можем да представим основнитепонятия под формата на обекти от всякакво естество, които имат свойствата, посочени в аксиомите.
След формулирането и доказването на първите геометрични твърдения, става възможно някои твърдения (теореми) да бъдат доказани с помощта на други. Доказателствата на много теореми се приписват на Питагор и Демокрит. На Хипократ от Хиос се приписва съставянето на първия систематичен курс по геометрия, основан на дефиниции и аксиоми. Този курс и неговите последващи обработки бяха наречени „Елементи“.
След това, през III век. пр.н.е., в Александрия се появява едноименна книга на Евклид, в българския превод на „Начала”. От латинското наименование "Начала" идва терминът "елементарна геометрия". Въпреки че писанията на предшествениците на Евклид не са достигнали до нас, можем да съставим някакво мнение за тези писания от Елементи на Евклид. В "Началата" има раздели, които логично са много малко свързани с други раздели. Появата им се обяснява само с факта, че са въведени според традицията и копират "Началата" на предшествениците на Евклид.
Елементи на Евклид се състои от 13 книги. Книги 1 - 6 са посветени на планиметрията, книги 7 - 10 са за аритметика и несъизмерими величини, които могат да бъдат построени с помощта на пергел и линейка. Книги от 11 до 13 бяха посветени на стереометрията.
„Началата” започват с представяне на 23 дефиниции и 10 аксиоми. Първите пет аксиоми са "общи понятия", останалите се наричат "постулати". Първите два постулата определят действията с помощта на идеален владетел, третият - с помощта на идеален компас. Четвъртото, "всички прави ъгли са равни" е излишно, тъй като може да бъде изведено от останалите аксиоми. Последният, пети постулат гласи: „Ако една права пада върху две прави и образува вътрешни едностранни ъгли в сумата от по-малко от две прави, тогава с неограниченпродължение на тези две прави, те се пресичат от страната, където ъглите са по-малки от две прави.
Пет „общи понятия“ на Евклид са принципите за измерване на дължини, ъгли, площи, обеми: „равните на еднакви са равни помежду си“, „ако равните се добавят към равните, сумите са равни помежду си“, „ако равните се извадят от равните, остатъците са равни помежду си“, „комбинирайки се помежду си са равни помежду си“, „цялото е по-голямо от частта“.
Тогава дойде критиката на геометрията на Евклид. Евклид беше критикуван по три причини: поради факта, че разглежда само такива геометрични величини, които могат да бъдат построени с помощта на пергел и линейка; за разбиването на геометрията и аритметиката и доказването за цели числа на това, което вече беше доказал за геометричните величини и накрая за аксиомите на Евклид. Петият постулат, най-трудният постулат на Евклид, е най-силно критикуван. Мнозина го смятат за излишно и че може и трябва да бъде извлечено от други аксиоми. Други смятат, че трябва да се замени с по-проста и по-илюстративна, еквивалентна на нея: „През точка извън права линия не може да се начертае повече от една права линия в тяхната равнина, която не пресича тази права линия.“
Критиката на пропастта между геометрията и аритметиката доведе до разширяване на концепцията за число до реално число. Споровете за петия постулат доведоха до факта, че в началото на 19 век Н. И. Лобачевски, Й. Бояй и К. Ф. Гаус изградиха нова геометрия, в която бяха изпълнени всички аксиоми на геометрията на Евклид, с изключение на петия постулат. То беше заменено с противоположното твърдение: "В равнина през точка извън права може да се начертае повече от една права, която не пресича дадената." Тази геометрия беше толкова последователна, колкото и геометрията на Евклид.
Планиметричният модел на Лобачевски върху евклидовата равнина е построен от френския математик Анри Поанкаре през1882 г
Нека начертаем хоризонтална линия на евклидовата равнина (вижте Фигура 1). Тази линия се нарича абсолютна (x). Точките на евклидовата равнина, лежащи над абсолюта, са точките на равнината на Лобачевски. Равнината на Лобачевски е отворена полуравнина, разположена над абсолюта. Неевклидовите сегменти в модела на Поанкаре са дъги от окръжности с център върху абсолюта или сегменти, перпендикулярни на абсолюта (AB, CD). Фигурата на равнината на Лобачевски е фигура на отворена полуравнина, лежаща над абсолюта (F). Неевклидовото движение е композиция от краен брой инверсии, центрирани върху абсолютната и аксиалната симетрия, чиито оси са перпендикулярни на абсолютната. Два неевклидови сегмента са равни, ако единият от тях може да бъде преместен в другия чрез неевклидово движение. Това са основните понятия на аксиоматиката на планиметрията на Лобачевски.
Всички аксиоми на планиметрията на Лобачевски са последователни. Определението за права линия е следното: "Неевклидова права линия е полукръг с краища в абсолюта или лъч с начало в абсолюта и перпендикулярен на абсолюта." По този начин твърдението на аксиомата на Лобачевски за успоредност е валидно не само за някаква права a и точка A, които не лежат на тази права, но също така и за всяка права a и всяка точка A, които не лежат на нея
Зад геометрията на Лобачевски възникват и други непротиворечиви геометрии: проективна геометрия, отделена от евклидовата, развива се многомерна евклидова геометрия, възниква риманова геометрия (обща теория на пространствата с произволен закон за измерване на дължини) и др. От науката за фигурите в едно триизмерно евклидово пространство, геометрията през 40 - 50 г. се превърна в набор от различни теории, само донякъде подобни на своите прародители телница - геометрията на Евклид.