Елиптична крива, математика, FANDOM, захранвано от Wikia
Елиптична кривае набор от точки, които удовлетворяват уравнението
Ако характеристиката на полето (Char K), върху което се разглежда даденото уравнение, е $ \neq 2, 3 \!, $, тогава уравнението се редуцира до каноничната форма (формата на Weierstrass) чрез промяна на координатите:
АкоChar K=3, тогава каноничната форма на уравнението е формата
И акоChar K=2, тогава уравнението е дадено в една от следните форми:
Елиптичните криви са едно от основните направления в съвременната теория на числата. Например, те са използвани от Андрю Уайлс (съвместно с Ричард Тейлър) при доказването на последната теорема на Ферма. Използват се в криптографията (виж Криптография с елиптична крива). В частност българският стандарт за цифров подпис ГОСТ Р 34.10-2001 е базиран на елиптични криви. В допълнение, елиптичните криви се използват при факторизацията (вижте алгоритъма на Lenstra).
Елиптична крива изобщо не есъщата като елипса: вижте елиптичен интеграл за произхода на термина.
Елиптични криви върху реални числа Редактиране
Формалната дефиниция на елиптична крива е трудна за разбиране и изисква известни познания по алгебрична геометрия. Нека се опитаме да опишем някои свойства на елиптичните криви върху реални числа, като използваме само знанията по алгебра и геометрия от гимназията.
Считаме, че характеристиката на полето не е 2 и 3. Тогава елиптичната крива е равнинна крива, дефинирана от уравнение от вида
къдетоaиbса реални числа. Този вид уравнения се наричат уравнения на Вайерщрас.
Например следният чертеж показва елиптични криви, дефинирани от уравненията $ y^2 = x^3 - x $ и $ y^2 = x^3 - x + 1 $. Файл:ECexamples01.png
По дефиниция е необходимо такава крива да няма особени точки. Геометрично това означава, че графиката не трябва да има върхове и самопресичания. Алгебрично това означава, че дискриминантът
$\Делта = -16(4a^3 + 27b^2) $
не трябва да е нула.
Ако кривата няма особени точки, тогава нейната графика имадвечасти, ако дискриминантът е положителен, иедна, ако е отрицателен. Например, за графиките по-горе, в първия случай дискриминантът е 64, а във втория е -368.
Групово право Редактиране
Като добавим "неправилна точка", получаваме проективна версия на тази крива. АкоPиQса две точки на кривата, тогава можем уникално да опишем третата точка - пресечната точка на тази крива с линията, начертана презPиQ. Ако линия е допирателна към крива в точка, тогава тази точка се брои два пъти. Ако правата е успоредна на остаOy, третата точка ще бъде неправилна точка (точка, по-отдалечена до безкрайност).
Тогава можем да въведем групова операция "+" на линията със следните свойства: приемаме, че неподходяща точка е нулата на групата; и ако правата пресича дадената крива в точкиP,QиR, тогаваP+Q+R= 0 в групата. Може да се покаже, че по този начин кривата се превръща в абелева група, тоест в абелево многообразие. Може също да се покаже, че наборът отK-рационални точки (включително неправилни) образува подгрупа от тази група. Ако кривата е обозначена сE, тогава такава подгрупа обикновено се означава катоE(K).
$ x_R = s^2 - x_P - x_Q $, $ y_R = -y_P + s(x_P - x_R) $.
$ s = ^2 - p)>/ $ , $ x_R = s^2 - 2x_P $ , $ y_R = -y_P + s(x_P - x_R) $ .
Елиптични криви над полето на комплексните числа Редактиране
Формулирането на елиптичните криви като вграждания на тора в комплексната проективна равнина следва директно от едно любопитно свойство на елиптичните функции на Вайерщрас. Тези функции и техните първи производни са свързани с формулата
$ \wp'(z)^2 = 4\wp(z)^3 -g_2\wp(z) - g_3 $ .
Тук $ g_2 $ и $ g_3 $ са константи; $ \wp(z) $ е елиптичната функция на Вайерщрас, а $ \wp'(z) $ е нейната производна. Вижда се, че връзката е под формата на елиптична крива (над комплексни числа). Функциите на Вайерщрас са двойно периодични; тоест те са период по отношение на структурата Λ всъщност функциите на Вайерщрас са естествено дефинирани върху тора $ T=\mathbb/\Lambda $ . Този тор може да бъде вграден в комплексната проективна равнина чрез преобразуването
Тази карта е групов изоморфизъм, който картографира естествената групова структура на тора върху проективната равнина. Освен това, това е изоморфизъм на риманови повърхнини, тоест топологично дадената елиптична крива може да се разглежда като тор. Ако структура Λ е свързана със структураcΛ чрез умножение по ненулево комплексно числоc, тогава съответните криви са изоморфни. Класовете на изоморфизъм на елиптичните криви се определят от j-инварианта.
Класовете изоморфизъм могат да се разглеждат по по-прост начин. Константите $ g_2 $ и $ g_3 $ , наречени модулни инварианти, са уникално дефинирани от торичната структура. Комплексните числа обаче са поле за разлагане на полиноми, което означава, че елиптичните криви могат да бъдат записани като
Може да се покаже, че
$ \Делта = g_2^3-27g_3^2 = \lambda^2(\lambda-1)^2 $ .
Обърнете внимание, че теоремата за униформизация гласи, че всяка компактна риманова повърхност от род 1 може да бъде представена като тор.
Елиптични криви върху произволно поле Редактиране
Елиптични криви могат да бъдат дефинирани върху всяко полеK; формално елиптична крива се дефинира като неизродена проективна алгебрична крива надKот род 1 с дадена точка, дефинирана върхуK.
Ако характеристиката на полетоKне е равна на 2 или 3, тогава всяка елиптична крива надKможе да бъде записана като
къдетоpиqса елементи отK, така че полиномътx³ −px−q(дясната страна) няма множество корени. (Ако характеристиката е 2 или 3, трябва да въведете още няколко условия.)
Можете да приемете кривата като набор от всички точки (x;y), които отговарят на горното уравнение, аxиyса едновременно елементи на алгебричното затваряне на полетоK. Точки от кривата, чиито и двете координати принадлежат наK, се наричат K-рационални точки.
Връзка с теорията на числата Редактиране
Теоремата на Мордел-Вейл гласи, че ако полетоKе поле от рационални числа (или, като цяло, поле от числа), тогава групата отK-рационални точки е крайно генерирана. Това означава, че една група може да бъде изразена като пряк сбор от свободна абелева група и крайна торсионна подгрупа. Въпреки че е относително лесно да се дефинира торсионната подгрупаE(K), няма общ алгоритъм за изчисляване на ранга на свободна подгрупа. Формулата за изчисляване на ранга е дадена в хипотезата на Birch и Swinnerton-Dyer.
Едно скорошно доказателство на последната теорема на Ферма беше направено чрез доказване на специален случай на теоремата на Танияма-Шимура, свързваща елиптични криви над рационални числа с модулни форми; тази теорема наскоро беше доказана като цяло.
Точна бройкарационални точки на елиптична криваEнад крайно полеFpе достатъчно трудно да се изчисли, но теоремата на Хасе за елиптичната крива гласи, че
$ \left \sharp E( \mathbb_p ) - p - 1 \right .
Този факт може да бъде интерпретиран и доказан чрез някои общи теми; вижте Локална дзета функция, Etale когомология. Броят точки на дадена крива може да се изчисли с помощта на алгоритъма на Шуф.
За допълнителна дискусия по темата вижте статията Аритметика на абелевите многообразия.
Алгоритми, използващи елиптични криви Редактиране
Елиптични криви над крайни полета се използват в някои криптографски приложения и факторизация. Обикновено основната идея зад тези приложения е, че известният алгоритъм, използван за конкретни крайни групи, се пренаписва, за да използва групи от рационални точки на елиптични криви. За подробности вижте: