фактор-групи

Съседни класове

Инвариантни (нормални) подгрупи

Група H се наричаподгрупа на група G, ако се състои от елементи на групата G и самата тя е група.

Елементът c=b -1 ab се наричатрансформация на елемента a от елемента b. Елементите c и a се наричат ​​конюгирани.

b -1 -обратен елемент за b.

Тук a и b са елементи на групата и обичайното (неозначено) умножение всъщност е групова операция.

Ако b -1 a b \u003d a, тогава ab \u003d ba (тъй като тази група е абелева, следователно, комутативна).

Доказателство: умножете b -1 ab = a отляво и отдясно на знака за равенство по b:

Теорема: Трансформацията разделя група на класове спрегнати елементи.

Доказателство:

1. Рефлексивност: a = 1 -1 a1

2. Симетрия: c \u003d b -1 ab Þ

bcb -1 = bb -1 abb -1

(b -1 ) -1 cb -1 = a , нека B = b -1

B -1 cB = a, т.е. ако a е трансформация на c, тогава c е трансформация на a

3. Преходност: c \u003d b -1 ab, c \u003d d -1 cd

e = D -1 aD bdd -1 b -1 =1, (bd) -1 (bd)= 1 Û d -1 b -1 = (bd) -1

Теорема: Трансформация на подгрупа H чрез елемент bОG е подгрупа на група G, изоморфна на Н.

Доказателство:

2. b -1 1b = 1 (т.е. 1 оригинална група остава 1 получена група)

a -1 = (b -1 xb) -1 = b -1 x -1 (b -1 ) -1 = b -1 x -1 b

Тези. в резултат на (1-3) получаваме група, като тази процедура запазва функционалност, сюрективност, навсякъде определеност, инективност, т.е. получената група е изоморфна на оригиналната.

а 2

b ba 2 = ab

аз а

Подгрупа K на група G се наричаинвариантна(нормално) ако преобразуването на който и да е елемент от подгрупата K с помощта на който и да е елемент от тази група дава отново елемент от подгрупата K.

K = < I, a, a 2 >- подгрупа на някаква група G

ab = ba 2 = ba -1 (или a 2 × a = I / *a -1 , a 2 aa -1 = Ia -1 , a 2 = a -1 )

b -1 ab = b -1 ba -1

b -1 ab = a -1 ( = a 2 ) - трансформация на елемента a с помощта на елемента b и той е елемент от групата.

5.4. Двустенна група (D3)

D3=

За тази група ще има следните конститутивни отношения:

a 3 = b 2 = (ba) 2 = I

b

Таблица за умножение на тази група:

А

аз	а	а 2	b	ба	ба 2
аз	аз	а	а 2	b	ба	ба 2
а	а	а 2	аз	ба 2	b	ба
а 2	а 2	аз	а	ба	ба 2	b
b	b	ба	ба 2	аз	а	а 2
ба	ба	ба 2	b	а 2	аз	а
ба 2	ба 2	b	ба	а	а 2	аз

Елементите не се повтарят във всеки ред и всяка колона.

а. H = нека f(I) = f(b) = I е някакъв хомоморфизъм

a = Ia = (ba) 2 a = babaa = baba 2

f(a) = f(baba 2 ) = f(b) f(a) f(a) f(b 2 ) = f(a)f(a 2 ) = (по предположение f(b) = I )

f(a 2 ) = f(a) f(a) = I I = I

f(ba) = f(b) f(a) = I I = I

f(ba 2 ) = f(b) f(a 2 ) = I I = I

Тези. може да се покаже цялата група D3единичен елемент.

f(I) = f(a) = f(a 2 ) = I

f(ba 2 ) = f(b) = f(b)f(b) = f(b 2 ) = I

Групи, които имат единичен (неединичен) елемент, така че някаква степен на този елемент дава I, се наричат ​​циклична група от степен n.

Ако за някаква група извършим хомоморфно картографиране и някои от нейните подгрупи се картографират изцяло в елемента на идентичност на групата, тогава такава подгрупа е ядрото на хомоморфизма. Означава се f -1 (I).

aH е съседният (ляв) клас за H, ако всички елементи на H отляво се умножат по a.

Всички получени елементи са различни един от друг.

Теорема (Лагранж) : Редът на крайна група е кратен на реда на всяка от нейните подгрупи.

Подгрупа K (от група G) е инвариантна за G, ако съответните класове за нея съвпадат.

Ако една група е комутативна, тогава тя е инвариантна.

Ядрото на хомоморфизма е нормална подгрупа.

Косетите на групата G по отношение на нейната нормална подгрупа K образуват група.

---