Фрактална класификация

Геометрични фрактали.Основното свойство на фракталите енецелочислена(дробна)стойност на тяхната размерност.За да разберем това определение, нека се обърнем към основите на теорията на размерите.

Концепцията за дробна размерност се основава на анализа на концепцията за цялото евклидово E или топологичното измерение D0. Топологичната размерност D0 на множество в линейно пространство е броят на линейно независимите координати в него. По-специално, точка в евклидовото пространство E има топологична размерност D0 = 0. Гладките криви - прави линии, кръгове, различни линии и т.н. - имат размерност D0 = 1, т.е. те са едномерни. Повърхностите имат размерност D0 = 2 (двуизмерни), твърдите тела имат размерност D0 = 3 (триизмерни), хипертелата имат по-високи стойности на D0. И какъв е размерът на праха върху забравена книга, равнината на домашно сито за пресяване на брашно, рехаво защрихован лист хартия или топка (топка) от степно тревисто растение? Опитвайки се да отговорим на тези въпроси, можем да стигнем до системи, чиято размерност ще се измерва с нецели (дробни) числа - до фрактали.

Концепциите за фрактални мерки и размерността на множествата, които ги характеризират като цяло, се основават на дефинициите, въведени от Хаусдорф.Измерението на Хаусдорфсе определя по следния начин. Нека на равнината има някаква силно начупена линия, която има „измислен“, фрактален характер. Ще измерим дължината на тази линия чрез сегменти с характерен размер δ (те също така казват - пробни сегменти, тяхната дължина δ се нарича коефициенти на подобие). Тогава нейната обща дължинаLδ клони не към крайна граница, както би трябвало да бъде за „обикновена“ линия, а към безкрайност според степенен закон:

къдетоАе определена размерна константаLD (Lе размерът на дължината),a D е константа, нареченафрактално измерениеилиизмерение на Хаусдорф.Формула (2.268) може да бъде записана асимптотично като δ → 0:

къдетоN -е броят на сегментите, необходими за покриване на фракталната линия.

Акоlе дължината на всеки такъв сегмент (т.е. разстоянието между две точки по права линия) иN(δ) се определя от закона за подобие като δ → 0, тогава

От (2.270) следва, че фракталната размерност D се намира като:

Първата дефиниция сега може да бъде донякъде разширена:фрактали—това са множества, чието хаусдорфово измерениеDкоето е строго по-голямо от тяхното топологично измерение.На това определение може да се придаде определено физическо значение: то характеризира усложняването на множествата. Ако това е крива, тогава тя може да бъде усложнена от безкраен брой завои до такава степен (например покриване на лист хартия със щриховка или оценка на кривите на Пеано - криви, които запълват равнината), че размерът й достига две, ако плътно покрива крайна площ.

За свързване на фракталните и топологичните измерения се използва показателят на Хърст H (0nи дължината на всяка връзка δ = 3−nс техния бройN(δ)=4n= δ − D

Очевидно границата на дължината на кривата при n → ∞ е равна на безкрайност. В резултат на това получихме крива с безкрайна дължина, запълваща ограничен набор в равнината. Ако започнем да изграждаме крива не от сегмент, а от триъгълник и приложим изброените действия към всяка от страните му, тогава ще получим затворена фигура - фракталът на снежинката на Кох.

фрактална
класификация

Нека сравним топологичните иХаусдорфизмерения на триадичната крива на Кох. Топологичното измерение на тази крива е D0 = 1 ие Хаусдорф,съгласно формула (2.271) - D = ln4/ln3 = 1.26.

Конструкцията на две много интересни фрактални фигури - триъгълна салфетка и килим Sierpinski (представени са четвърти поколения префрактали) е показано на фиг. 2.67,aиbсъответно.

В първия случай инициаторът е триъгълник с всички вътрешни точки, а във втория квадрат. На всеки следващ етап триъгълникът в салфетката на Серпински се заменя с три триъгълника, намалени с коефициенти 1/3. За килим Sierpinski, генериращият елемент се състои отN=8 квадрата със съотношение на компресия 1/3. Техният безкраен брой поколения генерира фрактална крива. В този случай черните области изчезват и общият периметър на дупките в килима на Серпински става безкраен. Лесно е да се види, че топологичното измерение на салфетката и килима на Сиерпински е едно и също D0 = 1, аHausdorffе съответно D = ln3/ln2 = 1,58 и D= ln8/ln3 = 1,89.