Групоиди, полугрупи, групи

Тема 1. ЕЛЕМЕНТИ НА ОБЩАТА АЛГЕБРА

1. Основни алгебрични структури.

2. Елементи от теорията на множествата, операции и отношения върху множества.

3. Функции, отношения на еквивалентност, отношения на частичен ред.

4. Група на Абелев, циклична група.

5. Изоморфизъм, автоморфизъм.

6. Пръстен, делители на нула. Тяло, поле.

8. Комплексни числа, действия върху тях.

9. Тригонометрична форма, спрегнати числа.

10. Формула на Де Моавър.

Извличане на квадратен корен, по-високи корени, корени от единица, примитивни корени.

12. Полиноми на една променлива, операции върху тях.

13. Алгоритъм за деление с остатък.

14. Делимост на полиномите, нейните свойства.

15. Най-голям общ делител, алгоритъм на Евклид.

16. Метод на Хорнер.

17. Основна теорема на алгебрата (без доказателство). Виета формули.

Комплексни корени на уравнение с реални коефициенти.

1.1

Алгебрична система или алгебрична структура е набор (носител) с набор от операции (сигнатура) върху него, който удовлетворява някаква система от аксиоми. Тоест понятието алгебрична система е специализация на понятието универсална алгебра.

Една n-арна операция върху G е преобразуване от директното произведение на n екземпляра на набор към самото множество. По дефиниция 0-арната операция е просто разграничен елемент от набор. Най-често се разглеждат унарните и двоичните операции, защото с тях се работи по-лесно. Но във връзка с нуждите на топологията, алгебрата, комбинаториката, техниката за работа с операции с по-голяма арност постепенно се натрупва; тук, като пример, можем да цитираме теорията на операдите (клонове на многолинейни операции) и алгебрите над тях (мултиоператоралгебра).

Ако множеството има структура на топологично пространство и операциите са непрекъснати, то се нарича топологична алгебрична система. По този начин в топологична група операциите на умножение и вземане на обратния елемент са непрекъснати.

Не всички алгебрични конструкции се описват от алгебрични системи; като пример за други можем да споменем коалгебри, биалгебри, алгебри на Хопф и комодули над тях.

Списък на алгебрични системи

Множеството може да се разглежда като изродена алгебрична система с празен набор от операции.

Групоиди, полугрупи, групи

Групоидът е набор с една двоична операция, обикновено наричана умножение.
Дясната квазигрупа е групоид, в който е възможно дясно деление, т.е. уравнението има уникално решение за всяко и .
Квазигрупата е едновременно дясна и лява квазигрупа.
Цикълът е квазигрупа с елемент на идентичност, така че.
Полугрупата е групоид, в който умножението е асоциативно: .
Моноидът е полугрупа с елемент на идентичност.
Групата е дивисионен моноид. За всеки елемент a от групата може да се дефинира обратен елемент a-1, така че .
Абелева група е група, в която операцията е комутативна, т.е. Операцията върху абелева група често се нарича добавяне ('+').

Пръстени

Полупръстенът е подобен на пръстен, но без обратимост на добавянето.
Пръстенът е структура с две двоични операции: абелева група чрез добавяне, моноид чрез умножение, законът за разпределение е изпълнен: .
Комутативният пръстен е пръстен с комутативно умножение.
Интегрален пръстен е пръстен, в който произведението на два ненулеви елемента не е равно на нула.
Тялото е пръстен, в койтоненулевите елементи образуват група за умножение.
Полето е комутативен пръстен, който е тяло.

Модули

Модул над пръстен е абелева група чрез добавяне, с разпределителна унарна операция на умножение по константа за всеки елемент от пръстена.
Векторното пространство е модул над поле.

Алгебра

Алгебра (линейна) е пространство с билинейна разпределителна операция за умножение, с други думи, пръстен с последователна пространствена структура

Асоциативна алгебра - алгебра с асоциативно умножение
Алгебрата на Лие е алгебра с антикомутативно умножение (обикновено означавано), която удовлетворява идентичността на Якоби
Алгебрата на Джордан е комутативна алгебра с идентичност на слабата асоциативност:
Алтернативна алгебра - алгебра с тъждества
Алгебрата на Малцев е антикомутативна алгебра с тъждество
Алгебра над операда е един от най-общите типове алгебрични системи. Тук самата операда играе ролята на сигнатура на алгебрата.

Решетки

Решетката е структура с две комутативни, асоциативни, идемпотентни операции, които удовлетворяват закона за поглъщане.

1.2

Комплекти

Най-простата структура на данните, използвана в математиката, възниква, когато няма връзки между отделни изолирани данни. Съвкупността от такива данни еset. Понятието набор е недефинирано понятие. Комплектът няма вътрешна структура. Наборът може да се разглежда като колекция от елементи, които имат някакво общо свойство. За да се нарече даден набор от елементи набор, е необходимо, чеследните условия:

Трябва да има правило за определяне дали определен елемент принадлежи към дадена колекция.
Трябва да има правило за разграничаване на елементите един от друг. (Това по-специално означава, че едно множество не може да съдържа дваидентичниелемента).

Наборите обикновено се означават с главни латински букви. Ако даден елемент принадлежи към множеството, това се означава с:

Ако всеки елемент от множеството също е елемент от множеството, тогава се казва, че множеството еподмножество на множеството:

Подмножество на набор се наричаправилно подмножество ако

Използвайки концепцията за набор, можете да изграждате по-сложни и смислени обекти.