Изследователска работа - quot; Лента на Мьобиус - quot, ученик от 6 клас
Автор: Волкова Елизавета
MBOU "Гимназия № 40" 6А клас
Ръководител: Бакунина Олга Анатолиевна
МБОУ "Гимназия № 40"
Барнаул 2012 г
Част 1. Историческа справка 4
Част 2. Създаване на лента на Мьобиус 6
Част 3. Експерименти с хартия 6
Част 4. Топологични свойства 12
Част 5. Приложение на лентата на Мьобиус 14
Препратки 20
В класната стая на математически кръг чух за лентата на Мьобиус. Много се заинтересувах от тази тема. Реших да задълбоча знанията си в тази област. Исках да науча колкото се може повече за лентата на Мьобиус. Проучих литературата, след това сам направих лентата на Мьобиус и след това изследвах чрез експериментиране нейните магически, необикновени свойства.
Целта на изследователската работа: изследване на лентата на Мьобиус.
Обект на изследване:Лента на Мьобиус.
Съберете всякаква информация за лентата на Мьобиус.
Направете лента на Мьобиус.
Изследвайте емпирично свойствата на лентата на Мьобиус.
Теоретичен анализ на литературата по изследваната тема.
Практическо моделиране на лентата на Мьобиус.
Занимавайки се с тази работа, стигнах до извода, че въпреки че лентата на Мьобиус беше открита, дори през XΙX век тя беше актуална както през XX век, така и през XXΙ. Удивителните свойства на лентата на Мьобиус са били и се използват сега в технологиите, физиката и оптиката. Той вдъхновява творчеството на много писатели и художници.
„Къде е началото на онзи край, с който свършва началото?“
Лентата на Мьобиус е открита независимо от немските математици Август Фердинанд Мьобиус и Йохан Бенедикт Листинг през 1858 г.
Лентата на Мьобиус поставя началото на нова наука - топологията. Думата е измисленаЙохан Бенедикт Листинг, професор в университета в Гьотинген, който почти по същото време (1862 г.) като своя колега от Лайпциг предложи като първи пример за едностранна повърхност вече познатата ни, някога усукана, лента. Тази наука е млада и затова пакостлива. Не може да се каже друго за правилата на играта, които са приети в него. Топологът има право да огъва, усуква, свива и разтяга всяка фигура - да прави всичко с нея, само да не я къса или слепва. И в същото време той ще предположи, че нищо не се е случило, всичките му свойства са останали непроменени. За него нямат значение нито разстоянията, нито ъглите, нито площите.
Какво порази тези двама немски професори? И фактът, че лентата на Мьобиус има само една страна. Свикнали сме, че всяка повърхност, с която работим (лист хартия, велосипед или волейболна тръба), има две страни. Не е трудно да се уверите, че лентата на Мьобиус е едностранна: започнете постепенно да я оцветявате на някое място, започвайки от всяко място, и в края на работата ще откриете, че е напълно оцветена. Ако поставите паяк от вътрешната страна на обикновен пръстен и муха от вътрешната страна и им позволите да пълзят както искат, като им забраните да пълзят само по краищата на пръстена, тогава паякът няма да може да стигне до мухата. И ако ги поставите и двете на лента на Мьобиус, горката муха ще бъде изядена, освен ако, разбира се, паякът не бяга по-бързо!
Изработване на лента на Мьобиус.
Лентата на Мьобиус е една от (математическите изненади) За да направите лентата на Мьобиус, вземете правоъгълна лента ABC D, завъртете я на 180 градуса и залепете срещуположните страни A D и BC, т.е. така че точките A и C и точките D и B съвпадат.
Експериментиране с хартия.
Всички тези експерименти се извършват с ножици илепило.
Повърхността на пръстена, носен на пръста, има две страни. Едната страна на пръстена е в контакт с пръста, другата страна е външната. Тези страни имат две граници (два ръба), всяка оформена като кръг. Ако някое насекомо иска да пропълзи от външната страна на пръстена към вътрешната, то със сигурност трябва да премине една или друга граница.
Това е самата лента на Мьобиус-
Експеримент 1.Има само една страна:вземете флумастер и започнете да рисувате върху лентата в някаква посока. Скоро ще се върнем на мястото, откъдето тръгнахме. Цялата лента се оказа боядисана! Но ние не го обърнахме, за да рисуваме от другата страна. И не можеха да го обърнат, дори и да искаха много.
Тъй като повърхността на лентата на Мьобиус е едностранна.
Експеримент 2.И все пак, от свойствата, следват невероятни трансформации на лентата, ако я разрежете. Първо разрежете по средата. Сега получавате два отделни пръстена. Но какво е това? Вместо два пръстена, получавате един! Освен това той е по-голям и по-тънък от оригиналния пръстен.
Опит 3.Ако отрежете лентата на разстояние 1/3 от ширината й от ръба, получавате два пръстена. Но! Един голям и един малък, прикрепен към него.
Експеримент 4. Ако изрежете и малък пръстен по средата, тогава ще имате много "сложно" преплитане на два пръстена - еднакви по размер, но различни по ширина.
Експеримент 5. Какво се случва, ако завъртите лентата два пъти (т.е. на 360 градуса), преди да я залепите? Такава повърхност вече ще бъде двустранна. И за да рисувате върху целия пръстен, със сигурност ще трябва да обърнете лентата от другата страна.
Ще трябва да обърнете, за да рисувате върху целия лист, който обърнахме на 360 градуса.
Експеримент 6.Свойствата на тази повърхност са не по-малко удивителни. В крайна сметка, ако го разрежете по средата, тогава ще получите два еднакви пръстена, но отново свързани заедно.
Опит 7.Като разрежете всеки от тях отново по средата, ще намерите четири пръстена, свързани един с друг. Вече можете да разкъсате
Пръстени на свой ред, но всеки път, когато те ще бъдат свързани заедно.
Опит 8.Ако вземете не хартиена лента, а лента от произволен плат, завъртете един от краищата на лентата на три оборота, т.е. 540 градуса, зашийте двата края. След това вземете ножицата и внимателно изрежете лентата в средата, след което ще получите три еднакви пръстена, свързани заедно.
4. Топологични свойства.
•Едностранчивост- топологично свойство на лентата на Мьобиус, характерно само за нея.
•Непрекъснатост–От топологична гледна точка кръгът е неразличим от квадрата, защото е лесно да се трансформират един в друг, без да се нарушава непрекъснатостта.Всяка точка от лентата на Мьобиус може да бъде свързана с друга точка. Няма пропуски - приемствеността е пълна.
•Свързаност– за да разделим квадрата на две части, ни трябва само един разрез. Но за да разрежете пръстена наполовина, ще са необходими две разфасовки. Що се отнася до лентата на Мьобиус, броят на връзките варира в зависимост от промяната в броя на завъртанията на лентата: ако едно завъртане е двойно свързано и т.н.
•Ориентацияе свойство, което отсъства от лентата на Мьобиус. И така, ако човек можеше да премине през всички завои на лентата на Мьобиус, тогава, когато се върнеше в началната точка, той щеше да се превърне вв огледалния си образ.
Каква форма на хартиена лента трябва да се вземе за залепване на лентата на Мьобиус?
Лентата трябва да е тясна и дълга, с възможно най-голямо съотношение на дължината към ширината. Да кажем, че не можете да направите лента на Мьобиус от квадратен лист. Това е вярно, но с едно предупреждение, което е лесно за подценяване: ограниченията на размера имат значение само ако хартията не се набръчква. Ако обаче не е забранено да се мачка хартията, тогава лентата на Мьобиус може да бъде залепена не само от квадрат, но и от правоъгълник с всякакъв размер ”- залепените страни могат дори да бъдат произволен брой пъти по-дълги от незалепените.
Можете да направите това по следния начин: сгънете правоъгълен лист в акордеон, като го огънете четен брой пъти. След това от този акордеон, като от дебела хартиена лента, залепваме лентата на Мьобиус. Ясно е, че листът хартия, от който е залепена лентата на Мьобиус, се оказа смачкан.
Да предположим сега, че хартиената лента може да се огъне, но не и да се набръчка. Взимаме ширината на лентата като единица. Ясно е, че колкото по-дълга е лентата, толкова по-лесно е да залепите лента на Мьобиус от нея. По този начин има такова число λ, че лента на Мьобиус може да бъде залепена от лента с дължина по-голяма от λ, но не и от лента с дължина по-малка от λ. Бих искал да намеря това λ. Изненадващо, решението на този проблем все още не е известно.
Доказваме теоремата, изчисляването на долната граница на дължините на хартиени ленти с ширина 1, от които е възможно да се залепи ненамачкана лента на Мьобиус.
За да докажем тази теорема, е достатъчно да обясним как да залепим лента на Мьобиус от лента, чиято дължина е по-голяма от √3. Нека първо приемем, че дължината му е точно √3. Тогава върху тази лента могат да се поставят два правилни триъгълника.
Сгънете лентата по страните на тези триъгълници, като редувате посоката на сгъване.
Ръбовете на лентите AB и CD ще бъдат подравнени иточка A е подравнена с точка D, а точка B е подравнена с точка C. Получавате лента на Мьобиус.
При тази конструкция е нарушено основното правило - не мачкайте хартията. Но е лесно да се разбере, че ако дължината на лентата е поне малко повече от √3, тогава прегъването по протежение на генератора може да бъде заменено с огъване, произведено в тесен участък. Тоест счупването по прав сегмент не е ужасно за нас: може да бъде заменено с завой близо до него.
5. Приложение на лентата на Мьобиус.
Патентните служби бяха принудени да се запознаят с удивителните свойства на лентата на Мьобиус - по различно време и в различни страни бяха регистрирани много изобретения, които се основават на една и съща едностранна повърхност. През 1923 г. известният американски изобретател Лий де Форест, който изобретява триелектродна лампа - триод, предлага запис на звук върху филмова лента без смяна на намотки, веднага "от двете страни". Колко хора се вълнуват от разходки с влакче в увеселителен парк. Лентата на Мьобиус се наблюдава доста безопасно под формата на абразивни ленти за заточване на инструменти, мастилена лента за принтери.
На входа на Музея на историята и технологиите във Вашингтон има паметник на лентата на Мьобиус - стоманена лента бавно се върти на пиедестал, усукана на половин оборот.
Цяла поредица от скулптури под формата на лента на Мьобиус е създадена от скулптора Макс Бил.
Доста различни рисунки остави Мауриц Ешер. Особен интерес представлява гравюра, изобразяваща мравка, пълзяща по лента на Мьобиус.