ковариация

Съдържание

  • Ако X, Y са независими случайни променливи, тогава c o v (X, Y) = 0 (X, Y)=0> .
  • Но обратното твърдение, най-общо казано, не е вярно: независимостта не следва от липсата на ковариация. Пример: Нека случайната променлива Z приема стойностите 0, π 2, π >,\pi > , всяка с вероятност 1 3 >> . Тогава cos⁡ Z > ще приеме стойностите -1, 0 и 1, всяка с вероятност 1 3 >> , докато P ( sin ⁡ Z = 1 ) = 1 3 , P ( sin ⁡ Z = 0 ) = 2 3 , P ( sin ⁡ Z = − 1 ) = 0 =1)=>,P(\sin =0)=>,P(\sin =-1)=0> . Тогава c o v ( sin ⁡ Z , cos ⁡ Z ) = 0 (\sin ,\cos )=0> , но 0 = P ( sin ⁡ Z = 1 , cos ⁡ Z = 1 ) ≠ P ( cos ⁡ Z = 1 ) P ( sin ⁡ Z = 1 ) = 1 9 =1,\cos =1)\neq P(\cos =1)P(\sin =1)=>>
  • Ковариацията на случайна променлива със себе си е равна на дисперсията: c o v ( X , X ) = D [ X ] (X,X)=\mathrm [X]> .
  • Ковариацията е симетрична: c o v (X, Y) = c o v (Y, X) (X,Y)=\mathrm (Y,X)> .
  • Тъй като очакването е линейно, ковариацията може да бъде записана като c o v ( X , Y ) = M [ X Y − X M Y − Y M X + M X M Y ] = (X,Y)=\mathbb \left[XY-X\mathbb Y-Y\mathbb X+\mathbb X\mathbb Y\right]=> = M [ X Y ] − M X M Y − M X M Y + M X M Y = M [ X Y ] − M X M Y \left[XY\right]-\mathbb X\mathbb Y-\mathbb X\mathbb Y+\mathbb X\mathbb Y=\mathbb \left[XY\right]-\mathbb X\mathbb Y> .
  • Нека X 1 , … , X n ,\ldots ,X_> случайни променливи и Y 1 = ∑ i = 1 n a i X i , Y 2 = ∑ j = 1 m b j X j =\sum \limits _^a_X_,\;Y_=\sum \limits _^b_X_> са техните две произволни линейни комбинации. Тогава c o v ( Y 1 , Y 2 ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i b j c o v ( X i , X j ) (Y_,Y_)=\sum \limits _^\sum \limits _^a_b_\mathrm (X_,X_)> .
По-специално, ковариацията (за разлика от коефициента на корелация) не е такавае инвариантен при мащабиране, което не винаги е удобно в приложенията.
  • Ако α и β са числа, тогава c o v ( X + α , Y + β ) = c o v ( X , Y ) (X+\alpha ,Y+\beta )=\mathrm (X,Y)> .
  • Неравенството на Коши-Буняковски: ако вземем ковариацията ⟨ X , Y ⟩ = c o v ( X , Y ) (X,Y)> , тогава квадратът на нормата на случайната променлива ще бъде равен на дисперсията ‖ X ‖ 2 = D [ X ] =\mathrm [X]> , а неравенството на Коши-Буняковски ще бъде записано във формата .

Ако ковариацията е положителна, тогава с нарастването на стойностите на една случайна променлива, стойностите на втората имат тенденция да се увеличават, а ако знакът е отрицателен, тогава намаляват.

Въпреки това, само по абсолютната стойност на ковариацията е невъзможно да се прецени колко силно са взаимосвързани стойностите, тъй като нейният мащаб зависи от техните дисперсии. Скалата може да се нормализира, като стойността на ковариацията се раздели на произведението на стандартните отклонения (корени квадратни от дисперсиите). Това води до така наречения корелационен коефициент на Пиърсън r ( X , Y ) (X, Y)> , което винаги е между −1 и 1:

Случайни променливи с нулева ковариация се наричат ​​некорелирани. Независимите случайни променливи винаги са некорелирани, но не и обратното.