Lektsii_semester_po_algebre - Страница 13

е спрегнатият клас на елемента x .

Ясно е, че Orb (e) = feg. Освен това, j Orb ( x ) j = 1 () x 2 Z( G ), т.е. едноелементните орбити са точно елементи на центъра, тъй като gxg 1 = x за всички g 2 G е еквивалентно на xg = gx за всички g 2 G, т.е. x 2 Z( G ).

St (x) = fg j gxg 1 = xg = C(x) ;

където C( x ) = fy 2 G j xg = gxg е централизаторът на елемента x 2 G .

По този начин теоремата за разделяне на орбити в този случай означава следното.

Теорема 2 (за разделянето на класове спрегнати елементи).

Нека G е група, тогава:

1) групата е обединение на орбити - непресичащи се различни класове спрегнати елементи (т.е. отношението на спрегнатост y x, ако y = gxg 1 , е отношение на еквивалентност);

2) броят на елементите на крайна група G, спрегнати на елемент x 2 G, е равен на индекса на централизатора C( x ) на елемента x 2 G в групата

(защото jGj = j Orb ( x ) j j St ( x ) j = fброй елементи, спрегнати с x g j C( x ) j ) , т.е. числото jGj=j C( x ) j, и е делител на числото jGj.

Упражнение 2. Разделянето на класове от спрегнати елементи в групата на пермутации S n се определя от вида на разширението на цикъла (т.е. две пермутации в S n са спрегнати тогава и само ако имат еднакви разширения на цикъла, т.е. за всяко число r, същия брой цикли с дължина r в техните разширения на цикли).

ЦЕНТЪР НА КРАЙНА p-ГРУПА

Теорема 3. Коефициентът на неабелева група спрямо нейния център не може да бъде циклична група.

Доказателство. Да приемем, че това не е така, т.е. съществува някаква неабелева група G, така че G= Z( G ) = G=Z е циклична група. Нека тогава G=Z = gZ . В този случай всеки елемент от групата Gсе представя като продукт g k z , където z 2 Z .

Да разгледаме два произволни елемента от групата G — g k z 1 и g l z 2 . Те комутират, тъй като елементите на центъра комутират с всички елементи на групата, а мощностите на елемента g комутират помежду си.

Следователно групата G е абелева, което противоречи на предположението.

Теорема 4. Нека G е крайна p-група, т.е. jGj = p k , където p е просто число, k 2 N . Тогава неговият център е нетривиален, т.е. j Z( G ) j > 1 .

Доказателство. Да разгледаме разделяне на групата G на класове от елементи на спрегнатост. Единичен клас е точно централният елемент (един от тях е feg). Конюгиран клас, съдържащ повече от един елемент, съдържа p l елементи, където l>gt; 1 (като нетривиален делител на числото jGj = p k ). От това следва, че j Z(G) j>gt; 1 (в противен случай p k = 1 + pq ).

Теорема 5 (за комутативността на група от p 2 елемента). Позволявам

G е крайна група, jGj = p 2 , където p е просто число. Тогава G е абелева (т.е. комутативна) група.

Доказателство. По силата на предишната теорема j Z( G ) j>gt; 1, т.е. j Z( G ) j = p или j Z( G ) j = p 2 . Но първият случай ( j Z( G ) j = p ) е невъзможен, тъй като тогава jG= Z( G ) j = p 2 =p = p и следователно G= Z( G ) е циклична група, което е невъзможно. Така j Z( G ) j = p 2 , т.е. G = Z( G ) и следователно групата G е комутативна.

Теорема 6. Нека G е p-група, jGj = p r , r 1 . Тогава групата G съдържа нормална подгрупа от ред p r 1 .

Доказателство. Нека проведем индукция по r . Ясно е, че твърдението вер-

но за r = 1. Нека е вярно за всички k 1.

---