М с ентом

тема

Министерство на образованието на България

Международен образователен консорциум "Отворено образование"

Московски държавен университет по икономика, статистика и информатика

ANO "Евразийски отворен институт"

Диференциални уравнения със закъснение

Учебник Ръководство за изучаване на дисциплината

Сборник задачи по дисциплината Учебна програма по дисциплината

Геворкян Е.А. ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ СЪС ЗАБАВЕН АРГУМЕНТ: Учебник, ръководство за изучаване на дисциплината, колекция от задачи по дисциплината, учебна програма по дисциплината / Московски държавен университет по икономика, статистика и информатика - М.: 2004. - 79 с.

Геворкян Е.А., 2004

Московски държавен университет по икономика, статистика и информатика, 2004 г

ГЛАВА I. Метод на стъпките за решаване на диференциални уравнения

със закъснял аргумент.

1.1 Класификация на диференциалните уравнения с

девиантен аргумент. Постановка на първоначалния проблем.

1.2 Диференциални уравнения със закъснял аргумент. Стъпков метод. .

1.3 Диференциални уравнения със сепарабилни

променливи и с изоставащ аргумент.

1.4 Линейни диференциални уравнения със закъснял аргумент.

1.5 Диференциални уравнения на Бернули със забавен аргумент. .

1.6 Диференциални уравнения в общите диференциали

със закъснял аргумент.

ГЛАВА II. Периодични решения на линейни диференциални уравнения

със закъснял аргумент.

2.1. Периодични решения на линейни еднородни диференциални уравнения

с постоянни коефициенти и със закъсняващ аргумент.

2.2. Периодични решения на линеен нееднороден диференциал

уравнения с постоянни коефициенти и със закъснял аргумент.

2.3. Сложна форма на реда на Фурие.

2.4. Намиране на конкретно периодично решение на линейно нехомогенно

диференциални уравнения с постоянни коефициенти и забавени

аргумент чрез разширяване на дясната страна на уравнението в ред на Фурие.

ГЛАВА III. Приближени методи за решаване на диференциални уравнения

със закъснял аргумент.

3.1. Приблизителен метод на разширение за неизвестна функция

със забавен аргумент в степени на закъснение.

3.2. Приблизителен метод на Поанкаре. .

ГЛАВА IV. Диференциални уравнения със закъснение,

появяващи се при решаването на някои икономически проблеми

като се вземе предвид забавянето във времето.

4.1. Икономическият цикъл на Колецки. Диференциално уравнение

със закъснял аргумент, описващ промяната

запас от паричен капитал.

4.2. Характеристично уравнение. Случаят на истински

корени на характеристичното уравнение.

4.3. Случаят на комплексни корени на характеристичното уравнение.

4.4. Диференциално уравнение на забавяне,

описващи динамиката на националния доход в модели с лагове

(потреблението е пропорционално на националния доход).

4.5. Диференциално уравнение на забавяне,

описващи динамиката на националния доход в модели с лагове

(потреблението нараства експоненциално с темпа на растеж).

Ръководство за изучаване на дисциплината

2. Списък на основните теми.

2.1. Тема 1. Основни понятия и определения. Класификация

диференциални уравнения сдевиантен аргумент.

Диференциални уравнения със закъснение. .

2.2. Тема 2. Постановка на началния проблем. Стъпков метод на решение

диференциални уравнения със забавен аргумент. Примери.

2.3. Тема 3. Диференциални уравнения със сепарабилни

променливи и със забавени аргументи. Примери. .

2.4. Тема 4. Линейни диференциални уравнения

със закъснял аргумент. Примери. .

2.5. Тема 5. Диференциални уравнения на Бернули

със закъснял аргумент. Примери. .

2.6. Тема 6. Диференциални уравнения в тотални диференциали

със закъснял аргумент. Необходими и достатъчни условия. Примери.

2.7. Тема 7. Периодични решения на линеен хомогенен диференциал

уравнения с постоянни коефициенти и със закъснял аргумент.

2.8. Тема 8. Периодични решения на линеен нееднороден диференциал

уравнения с постоянни коефициенти и със закъснял аргумент.

2.9. Тема 9. Комплексна форма на реда на Фурие. Намиране на частен периодичен период

решения на линейни нехомогенни уравнения с постоянни коефициенти и с

забавен аргумент чрез разширяване на дясната страна на уравнението в ред на Фурие.

2.10. Тема 10. Приближено решение на диференциални уравнения с

метод със забавен аргумент за декомпозиция на функция от закъснение

по степени на забавяне. Примери.

2.11. Тема 11. Приблизителен метод на Поанкаре за намиране на периодика

решения на квазилинейни диференциални уравнения с малък параметър и

със закъснял аргумент. Примери. .

2.12. Тема 12. Икономическият цикъл на Колецки. Диференциално уравнение

с изоставащ аргумент зафункция K(t), показваща наличността на парични средства

основен капитал в момент t.

2.13. Тема 13. Анализ на характеристичното уравнение, съответстващо на

диференциално уравнение за функцията K(t). .

2.14. Тема 14. Случаят на комплексни решения на характеристичното уравнение

2.15. Тема 15. Диференциално уравнение за функцията y(t), показваща

национален доход в модели с лагове на капиталовите инвестиции, при условие че

функцията на потреблението има формата c(t - τ ) = (1 - α ) y (t - τ ), където α е постоянна скорост

2.16. Тема 16. Диференциално уравнение за функцията y(t), показваща

национален доход в модели с лагове на капиталовите инвестиции, при условие че

консуматорската функция има вида c ( t − τ ) = c ( o ) e r ( t − τ ) .

Сборник задачи по дисциплината.

Учебно съдържание по дисциплини.

Този урок е посветен на представянето на методи за интегриране на диференциални уравнения със забавен аргумент, срещани при някои технически и икономически проблеми.

Горните уравнения обикновено описват всякакви процеси с последващо действие (процеси със закъснение, със закъснение във времето). Например, когато в процеса на изследване стойността на количеството, което ни интересува в момент t зависи от стойността x в момент t- τ, където τ е времевият лаг (y(t)=f[x(t- τ)]). Или, когато стойността на количеството y в момент t зависи от стойността на същото количество в момент

t- τ (y(t)=f[y(t- τ )]).

Процеси, описани с диференциални уравнения със забавен аргумент, се срещат както в природните, така и в икономическите науки. При последното това е свързано както с наличието на времеви лаг в повечето звена на обществения производствен цикъл, така и сналичието на инвестиционни лагове (периодът от началото на проектирането на съоръженията до пускането им в експлоатация с пълен капацитет), демографски лагове (периодът от раждането до навлизане в трудоспособна възраст и започване на работа след образование).

Отчитането на забавянето във времето при решаването на технически и икономически проблеми е важно, тъй като наличието на забавяне може значително да повлияе на естеството на получените решения (например при определени условия може да доведе до нестабилност на решенията).

I. СТЪПЪЛЕН МЕТОД ЗА РЕШАВАНЕ НА ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

С ИЗОСТАНАЛ АРГУМЕНТ

ГЛАВА I. Метод на стъпките за решаване на диференциални уравнения

със закъснял аргумент

1.1. Класификация на диференциални уравнения с отклоняващ се аргумент. Постановка на първоначалния проблем

Определение 1 . Диференциални уравнения с отклоняващ се аргумент се наричат ​​диференциални уравнения, в които неизвестната функция X(t) влиза за различни стойности на аргумента.