Методи за решаване на конструктивни задачи, Методът на геометричните места - Решаване на конструктивни задачи в курса
Основните методи за решаване на строителни проблеми, изучавани в гимназията, включват:
1) Методът на геометричните места.
2) Методи за геометрични трансформации:
а) методът на централната симетрия;
б) метод на аксиална симетрия;
в) метод на паралелен трансфер;
г) ротационен метод;
д) метод на подобие;
3) Алгебричен метод.
Изброените методи са един от видовете практическо приложение на съответните геометрични концепции, които са в основата на всеки от методите. Следователно, без добро познаване на тези понятия от учениците, не може да става въпрос за успешното усвояване на съответните методи. Но, от друга страна, в силата на учителя е да избере такава система от задачи за изграждане и изграждане на обучение по такъв начин, че задачите, които трябва да бъдат решени, задълбочават разбирането и увеличават знанията на учениците за тази концепция, разкривайки я от различни ъгли. Задачите при изучаването на конкретен метод трябва да бъдат избрани така, че да показват възможно най-ясно същността на изучавания метод, особено в началния етап на неговото изучаване. Освен това, ако проблемът се решава по няколко метода, тогава изследваният метод трябва да позволи решаването на проблема по най-икономичния и красив начин. Нека разгледаме всеки метод по-подробно.
Метод на геометричните места
Математическата същност на метода на геометричните места е доста проста. Състои се в това, че желаната точка се определя като точка на пресичане на някои две геометрични точки (или понякога като пресечна точка на някакво геометрично място с дадена линия или окръжност); в същото време онези условия на проблема, които определят позицията на желаната точка, се разделят мислено на две условия и всяко от тях дава определено геометрично място, чиято конструкциясе оказва възможно (понякога едно от тези геометрични места се заменя с пряко дадена линия или окръжност) [18].
Методът на геометричните места е един от най-важните методи за решаване на геометрични задачи изобщо и трябва да заема голямо място при решаването на задачи за конструиране, предимно в 8. клас.
Когато се представя този метод в училище, въпросът, разбира се, не е, че учениците могат да опишат същността на метода с думи, а че учениците могат съзнателно да използват този метод.
Основата на този метод е концепцията за геометричното място на точките. Геометричното място на точките (GMT) на пространство с дадено свойство е множеството от всички точки в пространството, всяка от които притежава това свойство.
Всички други точки в пространството не притежават това свойство. GMT се дава от свойство на точките, което се нарича характеристично свойство на този GMT (фигура).
Всяка задача, в която се изисква да се намери GMT по характерното му свойство, предполага изискването този GMT да се опише визуално чрез известни елементарни фигури. Решаването на задачата за намиране на GMT неизбежно води до доказателството на две твърдения - пряко и противоположно; необходимо е да се докаже, че: 1) всяка точка от предполагаемия (желания) GMT има дадено свойство; 2) всяка точка, която не принадлежи на тази фигура, не притежава даденото свойство.
Наборът от изследвани HMT може да бъде много разнообразен. Традиционният училищен комплект е:
а) множеството от всички точки в равнината, които са на дадено разстояние от дадена точка;
б) множеството от всички точки на равнината, равноотдалечени от две дадени точки;
в) множеството от всички точки в равнината, които са на дадено разстояние от дадена права;
г) наборвсички точки в равнината, които са на еднакво разстояние от две дадени прави.
В допълнение, следните GMT могат да бъдат добавени към списъка, ако е възможно:
а) множеството от всички точки на равнината, от които даден сегмент се вижда под даден ъгъл (специален случай е наборът от всички точки на равнината, от които даден сегмент се вижда под прав ъгъл);
б) множеството от всички точки на равнината, за всяка от които разликата на квадратите на разстоянията до две дадени точки е постоянна, е равно на квадрата на дадения сегмент;
в) набор от крайъгълни точки на равнината, за всяка от които отношението на разстоянията до две дадени точки е постоянно (кръгът на Аполоний).
Препоръчително е тези GMT да се вземат предвид само в класове със задълбочено изучаване на математика, както и в извънкласни часове по математика.
Същността на метода на геометричните места е следната:
а) задачата се свежда до изграждането на определена точка;
б) разберете какви свойства притежава дадената точка;
в) разглежда се едно от свойствата, построява се множеството от всички точки с това свойство;
г) взема се следващият имот и т.н.;
д) тъй като желаната точка трябва да притежава всички тези свойства, тогава тя трябва да принадлежи на всяко от построените множества, тоест трябва да принадлежи на пресечната точка на тези множества.
Приложение 4 съдържа решението на задачата: „Построете триъгълникABCпо две височини, прекарани от върховетеBиC, и по медиана, прекарана от върхаA”.
Методически препоръки за метода HMT [10]. Концепцията за HMT, притежаваща определено свойство, е по-добре да се въведе на примера на HMT, на еднакво разстояние от две дадени точки. И тогава, когато се изучават знаците за равенство на правоъгълни триъгълници, когато се решава задачата за намиране на точка, еднакво отдалечена от дведадени точкиAиBе необходимо да се определи GMT с определено свойство като набор от всички точки с това свойство.
Още в 7-ми клас има някои задачи, чието решение може да се разглежда като използване на метода на геометричните места (например задачата за построяване на триъгълник от три страни). Самото споменаване на метода и неговото изучаване обаче трябва да се отнесе към 8 клас.
На кой етап от курса за 8-ми клас учениците трябва да бъдат запознати с метода на геометричните места? Несъмнено това трябва да стане възможно най-рано. Най-подходящият момент за това би бил моментът, когато учениците в края на темата „Четворки“ се запознаят с достатъчен брой геометрични места.
Учителят започва, като показва на учениците колко важна е идеята за локуса при решаването на проблем, който познават добре, да речем, при конструирането на триъгълник с три страни. Нека основата на триъгълникаABвече е построена; остава да се определи позицията на третия връхС. Оказва се, че за определяне на позицията на точкатаCв задачата остават две условия: дължината на странитеACиBC. Начертавайки дъга от окръжност с център в точкаAи радиусB, ние конструираме геометричното място на точките, чието разстояние от точкаAе равно наB; подобно за втората дъга и т.н. След това могат да се предложат редица други прости задачи, подобни по съдържание на предходната, както в класната стая, така и за решаване у дома, напр.
1) изградете триъгълник според основата, медианата, изтеглена към основата и страната;
2) изградете триъгълник според основата, страната и височината, спуснати до основата.
Препоръчително е като една от първите задачи по геометричния методместа за даване на такъв проблем, където желаната фигура би се определяла не само от нейната форма и размер, но и от позицията й върху равнината. Пример за това е следната задача:
3) да се построи равнобедрен триъгълник, чиято основа е дадената отсечкаAB, а върхът лежи на дадената окръжност [10].
При по-нататъшната работа по геометрия в 8. клас системно до края на учебната година да се предлагат задачи за метода на геометричните места, заедно със задачи за пресмятане. Заедно с това приложението на метода на геометричните места трябва да бъде ясно разяснено на студента в онези въпроси от теоретичния курс, където е подходящо. Това включва въпроси като начертаване на окръжност през три точки, конструиране на допирателна към окръжност от дадена точка, конструиране на вписани и описани окръжности (при решаването на този проблем ще бъде особено полезно да се вземе предвид геометричното място на точките, еднакво отдалечени от две пресичащи се прави, вместо геометричното място на точките, еднакво отдалечени от страните на даден ъгъл).
Строителните задачи, решени по метода на геометричните места, могат да бъдат много разнообразни. Не трябва да си поставяме за цел да им даваме някаква формална класификация – тя не би била от голяма стойност нито от научна, нито от методическа гледна точка. По същия начин, целта не трябва да бъде да се предостави някакъв стандартен списък от задачи от този вид за гимназията. Това е просто помощ на учителя при подбора, както и при пресъставянето на задачи от този вид, като се посочват гледните точки, които трябва да се следват.
Различните конструктивни задачи, решени чрез метода на локуса, се различават един от друг, преди всичко по естеството на тези локуси, чрез които се определя позицията на желаната точка. Избор на задачи за изгражданерешения с всеки клас, трябва да се мисли, че в тези задачи има, ако е възможно, различни комбинации от тези основни геометрични места. Това ще осигури достатъчно разнообразие от задачи за решаване по същество, съобразно заложената в тях идея.