Неизменна
Значението на думата "Инварианти" в Голямата съветска енциклопедия
Инварианти (от лат. invarians, родителен падеж invariantis - непроменен), числа, алгебрични изрази и др., свързани с някакъв математически обект и оставащи непроменени, когато
| определени трансформации на този обект или референтна система, в която обектът е описан. За да се характеризира всяка геометрична фигура и нейното положение с помощта на числа, обикновено е необходимо да се въведе някаква спомагателна референтна система или координатна система. Числатаx1,x2, получени в такава система.xn характеризират не само изучаваната геометрична фигура, но и нейната връзка с отправната система и когато тази система се промени, фигурата ще съответства на други числаx¢1,х¢2.х¢n. Следователно, ако стойността на който и да е изразf(x1,x2.xn) е характеристика на самата фигура, тогава тя не трябва да зависи от референтната система, т.е. връзката |
Всички изрази, удовлетворяващи отношение (1), се наричат инварианти. Например положението на отсечкатаM1M2 в равнината се определя в правоъгълна координатна система от две двойки числаx1,y1 иx2,y2 - координатите на нейните краищаM1 иM2. При трансформиране на координатната система (чрез изместване на нейния произход и завъртане на осите), точкитеM1 иM2 получават други координатиx¢1,y¢1 иx¢2,y¢2, но (x1 -x2) 2 + (y1 -y2) 2 = (x¢1 -x¢2) 2 + (y¢1 -y¢2) 2 . Следователно изразът (x1 -x2) 2 + (y1 - -y2) 2 еИнвариантите на декартовата координатна трансформация. Геометричният смисъл на товаИнвариантите са ясни: това е квадрат на дължината на сегментаM1M2.
Крива от 2-ри ред в правоъгълна координатна система се дава от уравнението от 2-ра степен
чиито коефициенти могат да се разглеждат като числа, определящи кривата. При трансформиране на правоъгълни координати тези коефициенти се променят, но изразът запазва стойността си и следователно служи катоИнварианти на кривата (2). Когато се разглеждат криви и повърхности от по-високи порядки, възниква подобен по-общ проблем.
Концепцията заИнварианти е използвана от немския математик О. Хесе (1844), но теорията заИнварианти е систематично развита от английския математик Дж. Силвестър (1851-52), който също предлага термина „Инварианти “. През 2-рата половина на 19в. теорияИнварианти беше една от най-развитите математически теории. В процеса на развитие на тази класическа теорияИнварианти основните усилия на изследователите започнаха постепенно да се концентрират около решаването на няколко "основни" проблема, най-известният от които беше формулиран по следния начин. Разглеждат сеинварианти на системи от форми, които са цели рационални функции на коефициентите на тези форми. Изисква се да се докаже, че заИнварианти на всяка крайна система от форми съществува краен базис, т.е. крайна система от цели рационалниИнварианти, чрез които всеки друг цяло число рационалниИнварианти се изразява като цяла рационална функция. Това доказателство за проективниИнварианти е дадено в края на 19 век. Немският математик Д. Хилберт.
Много плодотворен подход към концепцията заИнварианти се получава, ако системите от числаx1,x2.xn иx¢1,x¢2.х¢n не трябва да се разглеждат като координати на едно иедна и съща точка по отношение на различни координатни системи, но като координати на различни точки в една и съща координатна система, получени една от друга чрез движение. Пространствените движения образуватгрупа.Инвариантите по отношение на промените в координатните системи също саИнварианти по отношение на групата на движение. От тук, чрез директно обобщение, се получава понятиетоИнварианти на всяка група трансформации. Теорията на такиваИнварианти се оказва много тясно свързана с теорията на групите и по-специално с теорията на груповите представяния.
Концепцията заИнварианти на група от трансформации е в основата на добре познатата систематизация на геометричните дисциплини по групи от трансформации,Инвариантите на които се изучават в тези дисциплини. НапримерИнвариантите от групата на ортогоналните трансформации се изучават в обикновената евклидова геометрия,Инвариантите на афинните трансформации - в афинната геометрия,Инвариантите на проективните - в проективната геометрия. Една много обща група от трансформации са всички едно-към-едно и непрекъснати трансформации. Изследването наИнварианти на тези така наречени топологични трансформации е предмет натопология. В диференциалната геометрия диференциалнитеИнварианти са от първостепенно значение, развитието на теорията на които доведе до създаването натензорно смятане.
През 20 век дълбоко влияние върху развитието на теориятаИнварианти, по-специално върху развитието на тензорното смятане, оказа теорията на относителността, в която инвариантността на физическите закони по отношение на групата от движения става един от водещите принципи. Вижте същоИнвариантност.
Лит.:Погорелов А. В. Аналитична геометрия, 3 изд., М., 1968; Широков П. А., Тензорен анализ, част 1, М.-Л.,1934 г.; Гуревич Г. Б., Основна теория на алгебричните инварианти, М.-Л., 1948; Weil, G., Класически групи, тяхната инвариантност и представяне, прев. s Eng., M., 1947.