Неизродено диференциране в крайномерна алгебра на Ли
Неизродена деривация в крайномерна алгебра на Лиее деривация D в алгебрата на Лие [math]\mathfrak[/math], така че ако [math]x \ne 0[/math] , тогава [math]Dx \ne 0[/math] (с други думи, [math]det D\ne 0[/math] ). Изводът е линейно картографиране [math]D: \mathfrak \rightarrow \mathfrak[/math], така че
[math]D[\xi,\eta] = [D\xi,\eta]+[\xi, D\eta][/math]
Съдържание
[редактиране] Нулево характеристично поле
В случай на поле с нулева характеристика алгебрата на Лие с неизродено извеждане е нилпотентна. Твърдението е очевидно първо доказано от Нейтън Джейкъбсън. [1] Подобен проблем има в проблемната книга на В. В. Трофимов за групи и алгебри на Ли. Доказателството по-долу е разделено на леми, първите 4 от които са дадени в книгата на Джейкъбсън Алгебри на лъжата.
И така, доказваме следната теорема:
Нека D е неизродена производна в крайномерна алгебра на Лие [math]\mathfrak[/math] над поле с характеристика нула, тоест [math]D: \mathfrak \rightarrow \mathfrak[/math] е неизродена линеен оператор (ядрото му е [math]\operatorname(D) = 0[/math] ) и
[math]D[\xi,\eta] = [D\xi,\eta]+[\xi, D\eta][/math]
Тогава [math]\mathfrak[/math] е нилпотентен.
Основното поле може да се счита за алгебрично затворено (ако това не е изпълнено, ние го вграждаме в алгебрично затваряне и доказваме твърдението върху него).
Очевидните свойства на прикачената представяща реклама (adx(y) = [x, y]) също ще бъдат използвани:
Лема 1. [math](D-(\alpha+\beta))[\xi,\eta]=[(D-\alpha)\xi,\eta]+[\xi,(D-\beta)\eta][/math]
Лема 2. [math](D-(\alpha+\beta))^n[\xi,\eta]=\sum\limits_^nC^k_n[(D-\alpha)^k\xi,\eta]+[\xi,(D-\beta)^\eta][/math] е аналог на бинома на Нютон (n е всекиестествено число, [math]C^k_n[/math] е броят на комбинациите от n до k).
ЛЕМА 3. Нека [MATH] \ MATHFRAK = \ BIGOPLUS \ LIMITS_ \ MATHFRAK _ [/MATH]-коренно разлагане спрямо D. Това е [MATH] \ MATHFRAK _ = \\ ExISTS K: (d- \ Alpha)^k \ XI = 0 \ & GT; [/M ath], [math] \ alpha \ in \ mathfrak^*[/math] - корен ако [math] \ mathfrak_ \ ne \ [/math]. Тогава:
(i) ако α + β е корен, тогава [math]\mathfrak_\mathfrak_ \subseteq \mathfrak_[/math] ; (ii) ако α + β не е корен, тогава [math]\mathfrak_\mathfrak_ = 0[/math] .
(Следва от лема 2).
Лема 4. Дефинирайте линеен оператор S върху [math]\mathfrak[/math] като зададете Sx = αx за [math]x \in \mathfrak_[/math] (за всеки корен α). Тогава S е неизродена деривация на [math]\mathfrak[/math] . Базисът на Йордан за D е базисът на собствения вектор за S. За това, което следва, ние фиксираме такъв базис i> и имаме Sei = αiei.
Лема 5. Ако αi + αj ≠ 0, тогава формата на Килинг (ei, ej) = 0. (Следва от факта, че тъй като S е производна, имаме (Sξ,η) + (ξ,Sη) = 0, тогава задаваме ξ = ei, η = ej).
Лема 6. За всяко i имаме, че [math]\operatorname_[/math] е нилпотентен линеен оператор (част от степента му е равна на 0). (Следва от лема 3).
Лема 7. Ако αi + αj = 0, тогава [math]\operatorname_\operatorname_=\operatorname_\operatorname_[/math] е нилпотентен линеен оператор (тъй като [ei,ej] = 0 по лема 3). Оттук и формата за убийство [math](e_i,e_j)=\operatorname
Лема 8. За всеки [math]\xi, \eta \in \mathfrak[/math] формата на Килинг (ξ,η) = 0. (следва от разлагането на ξ и η в основата i>).
Последица. Алгебрата на Лие [math]\mathfrak[/math] е разрешима (по критерия на Картан).
Лема 9. Нека δ е алгебра на Ливътрешни производни на алгебрата на Лие [math]\mathfrak[/math] ; Δ = δ⊕ (вътрешна деривация е деривация на формата adξ). Тогава комутантът Δ' = δ.
Лема 10. Алгебрата на Лие δ е разрешима (тъй като [math]\mathfrak[/math] е разрешима).
Лема 11. Алгебрата на Ли Δ е разрешима (тъй като Δ' = δ и δ е разрешима). Следователно δ е нилпотентен.
Лема 12. Алгебрата на Лие [math]\mathfrak[/math] е нилпотентна.
[редактиране] Положително характеристично поле
В случай на поле с положителна характеристика има прости алгебри на Ли с неизродено извеждане и те се поддават на класификация. [2] Оказва се, че ако характеристиката на полето p>gt; 7, тогава само някои прости специални алгебри (m:n; Ω),n= (n1,…, nm), с измерение (m-1) (p n −1), n = n1 +… + nm, и някои прости хамилтонски алгебри h (m:n;
[редактиране] Периодична диференциация
Всяка крайномерна алгебра на Лие с неизродено извеждане допуска периодично извеждане (т.е. извеждане, така че някаква степен на което е трансформацията на идентичността).