Оценка на истинската стойност на измерената стойност
Нека са направениnнезависими еднакво точни измервания на някаква физична величина, чиято истинска стойностае неизвестна. Резултатите от отделните измервания ще разглеждаме като случайни величиниXl,Х2,…,ХnТези величини са независими (измерванията са независими), имат едно и също математическо очакванеа(истинската стойност на измерената стойност), същата дисперсия σ 2 (измерванията са еднакво точни) и са нормално разпределени (това предположение е потвърдено от опита). По този начин всички предположения, направени при извеждането на доверителните интервали в предходните два параграфа, са изпълнени и следователно имаме право да използваме формулите, получени в тях. С други думи, истинската стойност на измереното количество може да бъде оценена от средноаритметичното на резултатите от отделните измервания, като се използват доверителни интервали. Тъй като σ обикновено не е известно, трябва да се използват формулите, дадени в § 16.
Пример. Според девет независими измервания с еднаква точност на физична величина са намерени средноаритметичното на резултатите от отделните измервания =42,319 и „коригираното“ стандартно отклонение s=5,0. Необходимо е да се оцени истинската стойност на измерената величина с надеждност γ=0,95.
Решение. Истинската стойност на измерената стойност е равна на нейното математическо очакване. Следователно проблемът се свежда до оценка на математическото очакване (за неизвестно σ) с помощта на доверителния интервал
,
покриване наaс дадена надеждност γ = 0.95.
Използвайки таблицата в Приложение 3, за γ = 0,95 иn= 9 намирамеtγ= 2,31.
Намерете точността на оценката:
.
Нека намерим границите на доверие:
= 42.319 - 3.85 = 38.469;
= 42,319+3,85 = 46,169.
Така че снадеждност 0,95 истинската стойност на измерената стойност се съдържа в доверителния интервал
38.469 2 (n—1)/σ2 се разпределя по закона χ 2 сn-1 степени на свобода, така че квадратният корен от него се означава с χ.
Плътността на разпределение χ има формата (вижте обяснението в края на параграфа)
. (**)
Това разпределение не зависи от оценения параметърσ, но зависи само от размера на извадкатаn.
Нека преобразуваме неравенството (*), така че да приеме формата χ1 1, тогава неравенството (*) ще приеме формата (като се има предвид, че σ> 0)
0 1 може да се намери от уравнението
На практика, за да намерите стойноститеq >1, съответстващи на различни дадениnи γ, използвайте таблицата в Приложение 4.
Пример 2. Количественият атрибутXна общата съвкупност е нормално разпределен. Въз основа на размера на извадкатаn=10, беше намерено "коригирано" стандартно отклонениеs=0.16. Намерете доверителния интервал, покриващ общото стандартно отклонение σ с надеждност 0,999.
Решение. Съгласно таблицата на Приложение 4, според данните γ=0,999 иn=10, намирамеq=1,80 (q>1). Желаният доверителен интервал е:
0 2 сk = n-1 степени на свобода, тогава неговата плътност на разпределение (виж глава XII, § 13)
,
или след заместванеk= n-1
.
Нека използваме формулата (виж глава XII, § 10)
,
да се намери разпределението на функцията. Оттук и обратната функция
И .
Тъй като χ > 0, тогава , следователно,
.
След извършване на елементарни трансформации и промяна на нотацията (g(χ), заместване сR(χ,n)), накрая получаваме
.
Оценка на точността на измерване
В теорията на грешкитеобичайно е да се характеризира точността на измерване (точността на инструмента), като се използва стандартното отклонениеσна случайни грешки на измерване. За оценка наσизползвайте "коригираното" стандартно отклонениеs. Тъй като резултатите от измерването обикновено са взаимно независими, имат едно и също математическо очакване (истинската стойност на измереното количество) и еднаква дисперсия (в случай на еднакво точни измервания), теорията, представена в предходния параграф, е приложима за оценка на точността на измерването.
Пример. Въз основа на 15 еднакво точни измервания е намерено „коригираното“ стандартно отклонение s = 0,12. Намерете точността на измерване с надеждност 0,99.
Решение. Точността на измерване се характеризира със стандартното отклонение σ на случайните грешки, така че проблемът се свежда до намиране на доверителен интервал (*), покриващ σ с дадена надеждност от 0,99 (вижте § 18).
Съгласно таблицата в Приложение 4 за γ = 0,99 иn=15 намирамеq= 0,73. Желаният доверителен интервал