Операции върху тензори
Добавяне :T =P +S.
Тензорно умножение по число :T = λP.
Диадно произведение на два вектораT е тензор от втори ранг с компоненти .
Диадичният продукт на базисните вектори е тензор от втори рангT, чиято матрица има един ненулев елемент.
Полиадно произведение на тензор от втори рангT и вектор е тензор от трети ранг с компоненти
.
В общия случай за полиадично произведение рангът на произведението е равен на сумата от ранговете на факторите.
Обърнете внимание, че диадичните и полиадните продукти са некомутативни операции.
Тензор от втори ранг, също като вектор, може да бъде разширен по отношение на база, а базата се състои от девет тензора:
T.
Умножение с навиване. Умножението с навиване на тензори от първи ранг е точково произведение, резултатът от което е тензор с нулев ранг
.
Умножението със свиване на тензори от ранг 2 води до скалар и се определя като
TS.
Конволюционното умножение на тензор от ранг 2 по вектор води до вектор и се дефинира като
T.
Имайте предвид, че последната операция е некомутативна, тъй като
- T.
Проекцията на тензора T върху единичен вектор е вектор, който се изчислява като
TT.
Обърнете внимание, че компонентите на проекциите на тензора върху базисните вектори са съответните колони на тензорната матрица. НапримерT е вектор, чиито компоненти са разположени във втората колона на матрицата
Нека въведем дефинициите на някои тензори от втори ранг на специална форма.
Симетричен тензор : .
Антисиметричен тензор : .
Теорема 1. Всеки тензор може да бъде представен като сбор от симетрични и антисиметрични тензори. Тази презентация е уникална.
◄ Доказателството следва от равенството
.
Уникалността се доказва от противоречие. ►
Теорема 2. Симетричен (антисиметричен) тензор остава симетричен (антисиметричен) при всяка ортогонална трансформация.
◄ Доказателство. . По същия начин,. ►
Транспониран тензор:
T T .
1. ако тензорS е симетричен, тогаваS T =S
2.
Тензор на Кронекер : .
Сферичен е тензорътS =λ∆.
Изотропен е тензорT ако
.