Отразяващо пространство, Виртуална лаборатория Wiki, FANDOM, захранвано от Wikia

Рефлексивно пространствое банахово пространство $ X $ , съвпадащо при канонично вграждане с второто си дуално $ X^ $ .

Съдържание

Редактиране на дефиниция

Нека $ X^* $ е дуалното пространство на $ X $, т.е. наборът от всички непрекъснати линейни функционали, дефинирани върху $ X $. Ако $ \langle x, f\rangle $ е стойността на функционала $ f\in X^* $ върху елемента $ x\in X $, тогава за фиксирани $ x $ и $ f $, преминаващи през $ X^* $, изразът $ \langle x, f\rangle=\mathcal F_x(f) $ ще бъде линеен функционал върху $ X^* $, тоест елемент от пространството $ X^ $ . Нека $ \overline\subset X^ $ е множеството от такива функционали. Съответствието $ x\to \mathcal F_x $ е изоморфизъм, който не променя нормата на $ \!x\!=\!\mathcal F_x\! $ . Ако $ \overline= X^ $ , тогава пространството $ X $ се наричарефлексивно.

Примери Редактиране

• Пространствата $ \ell_p $ и $ L_p(a,b) $ , $ p> 1 $ , са рефлексивни,
• Пространството $ C[a,b] $ не е рефлексивно.

Редактиране на свойства

• Интервал $ X $ е рефлексивен тогава и само ако $ X^* $ е рефлексивен.
• Пространство X е рефлексивно тогава и само ако единичната топка на това пространство е слабо компактна.
• Рефлексивното пространство е слабо пълно,
• Затворено подпространство на рефлексивно пространство е рефлексивно.

Вариации и обобщения Редактиране

• Концепцията за рефлексивност естествено се разпростира върху локално изпъкнали пространства.

Редактиране на литературата

• Дънфорд Н., Шварц Дж., Линейни оператори, част 1 — Обща теория, прев. от англ., М., 1982;
• Йосида К., Функционален анализ, прев. от англ., М., 1967;
• Канторович Л. В.,Акилов Г. П., Функционален анализ, 1 изд., М., 1977 г.

---