Павлов Андрей
Предговор за учители
Тази книга има две цели. От една страна, това е помагало за ученици, предназначено да обобщи знанията в курса по планиметрия, да подготви ученика за изпита по геометрия в 9. клас. От друга страна, книгата може да бъде полезна за учителите по математика, тъй като съдържа не само необходимия материал за подготовка на учениците за изпита, но и самите комплекти изпитни работи със задачи и отговори към тях. Характеристика на ръководството е прилаганият в него принцип на диференциация на нивата. Всички въпроси, задачи и изпитни комплекти са условно разделени на три нива: основно, напреднало и избираемо (нивото е посочено в скоби след всяка задача). Първото ниво съответства на общообразователните класове и се базира на действащите стандарти за математическо образование. Второто ниво, освен основните, съдържа въпроси и задачи с повишена сложност. Работата на това ниво е целесъобразна в класовете на гимназията (лицея) като част от пропедевтиката на специализираното обучение в старшите класове. Третото ниво включва материал, който може да се използва както в избираемите, така и в специализираните училища при подготовката на учениците за прием в университети като Московския държавен университет, Московския физико-технически институт, Московския авиационен институт, Московския държавен технически университет и др. Ръководството има четири глави. Първата глава съдържа основна информация и тестови въпроси за целия курс по планиметрия. Теоретичният материал, който надхвърля обхвата на училищната програма, е подчертан с различен шрифт. Във втора глава е направен анализ на планиметричните задачи както по отношение на обекта на решаване (триъгълник, трапец, успоредник, кръг и др.), така и по отношение на използваните похвати и методи, допълнен със задачи за самостоятелна работа. В трета глпредставени са четири комплекта билети за геометрия. Четвъртата глава дава отговори, решения и указания на поставените задачи.
Авторът изказва своята благодарност на своите ученици: Федор Борзов, Игор Григориев, Елена Гудкова, Мария Ларкина, Наталия Парамзина, Мария Соловьова, Мария Трошина, Антон Турецки, Артем Умаханов, Евгений Щирков, които оказаха голяма помощ при създаването на книгата.
Глава 1 Теоретична основа
§ 1. Логически основи на училищния курс по планиметрия
1.1. Справочна информация
Малко допълнителна информация за аксиоматичния подход в геометрията. Системата от аксиоми на геометрията не е избрана произволно. Той има три основни изисквания: независимост, последователност и пълнота. Система от аксиоми се нарича независима, ако нито една от аксиомите не може да бъде изведена като теорема от други аксиоми (тогава тази аксиома би била излишна). Система от аксиоми се нарича последователна, ако две теореми, които си противоречат, не могат да бъдат изведени от нея. Системата от аксиоми се нарича пълна, ако каквото и твърдение за свойството на определена геометрична фигура да формулираме, винаги може да се установи дали е вярно или невярно. Горната система от аксиоми на евклидовата геометрия удовлетворява и трите изисквания (доказано от А. В. Погорелов). Освен евклидовите, има и други аксиоматични теории (неевклидови геометрии). Например, ако деветата аксиома на евклидовата геометрия се замени с нейното отрицание („През точка, която не лежи на права линия, могат да бъдат начертани повече от една права линия, успоредна на дадена“), а останалите се оставят непроменени, получаваме планиметрията на Лобачевски. Тогава ще бъдат доказани неочакваните за нас твърдения: „Сумата от ъглите вима по-малко от два правоъгълни триъгълника”, „има триъгълници, около които е невъзможно да се опише окръжност”, „няма такива триъгълници” и много други. Променяйки системата от аксиоми, както и променяйки недефинирани понятия и отношения, ще получим други неевклидови геометрии (сферични, елиптични и т.н.). В допълнение към аксиоматичния подход, аналитичният подход е широко разпространен в геометрията. Същността му се състои в това, че на равнината се въвежда координатна система и на всяка точка се задава двойка числа (x; y) - нейните координати. Благодарение на това е възможно да се запишат уравненията на различни фигури (прави, кръгове и т.н.), да се изучат техните свойства. Въвеждането на декартова правоъгълна координатна система и използването на алгебричен апарат често улесняват решаването на много задачи в геометрията. Обобщение (в известен смисъл) на аналитичния подход в геометрията е векторният подход. Разликата е, че на равнината е въведена векторна (афинна) координатна система и двата базисни вектора не е задължително да са перпендикулярни един на друг и освен това могат да се различават по дължина. Въвеждането на векторна координатна система често прави възможно по-бързото и лесно решаване на редица геометрични задачи. Груповият подход е много разпространен във висшата геометрия. Групата е непразно множество M, върху което е дефинирана някаква операция* и са изпълнени следните условия: 1) за всеки елемент a, c, c от M(a*b)*c = a*(b*c): 2) има елемент e от M, така че a*e = e*a = a: 3) за всеки елемент a има елемент a-1 такъв, че a*a-1= a-1*a = e. В гео метрия могат да бъдат разграничени много групи, например група за изместване, група за трансформация на подобие. Най-важната група в планиметрията е групата на преместванията на равнината, тъй като с нейнитеизползвайки концепцията за равни фигури. Еднаквите фигури имат еднакви геометрични свойства, които не се променят (инвариантни) под действието на премествания. Като цяло можем да кажем, че всяка група трансформации определя своя собствена геометрия, в която се изучават свойствата на фигурите, които са инвариантни (непроменени) по отношение на тази група трансформации. Инвариантите на групата на преместване (и други групи) присъстват "невидимо" при решаване на задачи по метода на геометричните трансформации. Така че, изграждайки изображения на фигури с различни видове движения (симетрия, паралелен превод и т.н.), получаваме равни фигури, което в някои случаи ни позволява успешно да решаваме сложни проблеми.