Период на математиката на променливите Характеристика на периода
Особеност е въвеждането в математиката на идеите за движение и измерване. Функциите излизат на преден план. Изследването на функционалната зависимост води до основните понятия на математическия анализ: граница, производна, диференциал, интеграл. Геометърът също започва да изучава движенията и трансформациите на фигурите. Създава се аналитична геометрия. Алгебрата изучава въпроса за броя на реалните корени на уравнението F(x)=0. Основната теорема на алгебрата е доказана. Системите уравнения се решават с помощта на детерминанти. Развива се теорията за делимостта на полинома. Алгебрата се разглежда като част от анализа, а геометрията като приложна математика, която използва резултатите от чистата математика.
Математиката през 17 век
Развитието на математиката е свързано с успехите на астрономията и механиката. Кеплер открива и формулира математически законите на движението на планетите. Галилей създава механиката на свободното падане на тялото, основава теорията за еластичността, прилага математически методи. За намиране на закономерности между разстоянието и степента на ускорение. Нютон формулира закона за всемирното притегляне. Тези постижения в естествените науки, създаването на математически апарат за изучаване на процесите на движение. Ученията на 17-ти век са били едновременно математици, натуралисти, механици, през 17-ти век са създадени научни организации и общества, например Кралското общество в Лондон. През 1666 г. е организирана Парижката академия. Научните институции и дружества работеха ползотворно с държавна подкрепа. Почти всички математически дисциплини, които сега са част от съвременното висше образование, произхождат от 17 век.
Аналитична геометрия. Започва да се оформя благодарение на Декатру и Ферма като метод за изразяване на числени съотношения, размери, форми и свойства на геометрични обекти въз основа на координатни методи.Началото е поставено от Геометрията на Декарт, в която той полага основите на метода на координатите и въвежда общата идея за променливата. Той даде класификация на кривите с разделянето им на алгебрични трансцендентални.
Диференциално и интегрално смятане. Кеплер разработи метод за изчисляване на геометрични форми. Кавалиери разработи метод на интегриране, който позволява да се намерят определени интеграли на полиноми. Изчисляване на обеми на геометрични тела. До средата на 17-ти век възниква въпросът за създаването на единно интегрално смятане от различни методи. Разработени са диференциални методи във връзка с решаването на задачи за движения (моментна скорост) и изчертаване на допирателни към криви. Диференциалните методи решиха проблема: знаейки крива линия, намерете нейните допирателни. Практикувайте задайте обратната задача: като знаете допирателната, намерете съответната крива. Оказа се, че методите за интегриране не са приложими. Така се установи дълбока връзка между диференциалните и интегралните методи. Първите теории са първите форми на диференциално и интегрално смятане: теорията на Флуксия-Нютон и диференциалното смятане на Лайбниц. Нютон нарича променливите, произтичащи от непрекъснато движение, флуенти.
Теория на числата. Паскал формулира принципа на Ферма, формулира без доказателство теоремата: Голямата теорема на Ферма и Малката теорема на Ферма.
Развитието на математиката през18 век е свързано с необходимостта от нейното приложение в бързо развиващата се индустрия, военната техника, корабостроенето и картографията.
18 век се характеризира с изключителни математици от различни кръгове на обществото, които работят едновременно в областта на математиката, естествените науки и технологиите.
Например Ойлер произлиза от пастирско семейство. Работил е в областта на механиката, корабостроенето иоптика.
Лагранж е син на френски офицер. На 18 години проф. Работил в механиката.
Лаплас е син на френски селянин. На 18 години преподава математика. На 20 е професор, на 37 е член на Парижката академия на науките. Работил в механиката.
17 век дава на математиката мощен апарат. Анализ на безкрайно малките.
През 18 век тези идеи стават широко разпространени.
Ойлер въвежда символа F(x) в математиката. Той показа, че функционалната зависимост е основният обект на изследване на математическия анализ.
Въвеждат се и се изучават функции на много променливи.
Разработена е теорията за диференциране и интегриране на много променливи.
Основният инструмент за изучаване на функции е разширяването в безкрайни степенни редове. През 18 век са открити степенни редове за всички елементарни функции (Ойлер, Д'Аламбер, Тейлър).
Изследвани са разложения на функции в тригонометрични редове. Систематично се използват комплексни числа и се въвежда символът.
В областта на геометрията продължава да се развива аналитичната геометрия, пространствената, дескриптивната геометрия.
В алгебрата те се опитаха да намерят общ метод за решаване на алгебрични уравнения от всякаква степен.
Теорията на числата за първи път придобива характер на систематична наука. Ойлер доказва ирационалността на едно число. д'Аламбер доказва ирационалността на π.
През 18-ти век от математическия анализ възникват редица важни математически дисциплини с голямо практическо значение: теорията на диференциалните уравнения, вариационното смятане, TFKP, диференциалната геометрия и теорията на вероятностите.
Основните центрове за развитие на математиката в Европа са Франция, Англия и Германия.
Проблеми на обосноваване на математиката на променливите.
Слабостта на математиката от 18-ти веклипсваше обосновка за най-важните му логически части. По-специално, безкрайно малкият апарат е разработен без строга обосновка. Например дължината на кривата линия беше заменена с дължината на многоъгълник. Когато изчисляват площите на криволинейна фигура, те я разделят на безкрайно малки части, всяка от които се счита за правоъгълна. През 18 век неяснотата на основите започва да спъва развитието на анализа. В математиката са се натрупали голям брой противоречия и парадокси. Например те разглеждат следните серии: . За x=1 ще стане. През първата половина на 19 век настъпват решителни промени. Коши, Абел и други учени обосноваха безкрайно малкото смятане въз основа на теорията за границите. С помощта на границата получихме обяснение на понятието производна, интеграл, непрекъснатост на функция, сума на редица. Изследване на сумата от границата и безкрайно малките е извършено от Вайерщрас през 70-те години на 18 век. За да получи строги дефиниции, Вайерщрас разработи система от ξ-δ неравенства. Така съвременният анализ замени използването на интуиции, свързани с движението, със строг математически апарат от неравенства. Тъй като всички въпроси бяха сведени до неравенства с числа, стана необходимо да се изясни концепцията за реално число. През 1872 г. теориите за реалното число са конструирани от Кантор. Вайерщрас и Дедекинд. Изследването на реалните числа на свой ред накара математиците да разгледат безкрайните множества. До края на 19-ти век се разработи стандарт на изискванията за логическа строгост, основан на концепцията на теорията на множествата за изграждане на всяка математическа теория.
Възникналите проблеми допринасят за развитието на математиката през 19 век.