Полином на Александър
Полиномът на Александъре инвариант на възел, който преобразува полином с цели коефициенти на възел от произволен тип. Джеймс Александър го открива, първият полином на възел, през 1923 г. През 1969 г. Джон Конуей въвежда версия на този полином, сега нареченполином на Александър-Конуей. Този полином може да се изчисли с помощта на връзка на чиле, въпреки че важността на това не беше осъзната до откриването на полинома на Джоунс през 1984 г. Малко след усъвършенстването на полинома на Александър от Конуей, стана ясно, че подобна връзка на чиле е в статията на Александър за неговия полином [1] .
Съдържание
НекаKе възел на 3-сфера. НекаXе безкрайно циклично покритие на допълнението на възела [en]K. Това покритие може да се получи чрез разрязване на допълващия възел по повърхността на Seifert на възелаKи залепване на безкраен брой копия на получения колектор с границата. Има покриваща трансформация [en]t, действаща върхуX. Означете първата хомология (с цели коефициенти)Xс H1 (X) (X)> . Трансформациятаtдейства върху тази хомология, така че можем да приемем, че H1 (X) (X)> модул върху Z [ t , t − 1 ] [t,t^]> . Нарича сеАлександър инвариантилиАлександър модул.
Модулът има крайна задача. Представителната матрица за този модул се наричаАлександър матрица. Ако броят на генераторите,r, е по-малък или равен на броя на отношенията,s, разгледайте идеала, образуван от всички второстепенниrна матрицатаr. Това е нулевият идеал на Фитинг [en] илиидеалът на Александъри не зависи от избора на матрицата на представяне. Акоr > s, задаваме идеала на 0. Ако идеалът на Александър е главен, вземаме генератор и той се нарича полиномАлександър възел. Тъй като е уникален до умножение по монома на Лоран ± t n > , често водят до определен уникален вид. Александър избра нормализацията да има положителен постоянен член.
Александър доказа, че идеалът на Александър е ненулев и винаги главен. По този начин полиномът на Александър винаги съществува и е ясно, че това е инвариант на възел, неговото обозначение е Δ K ( t ) (t)> . Полиномът на Александър за възел, образуван от една нишка, има степен 2, а за огледалния образ на възела полиномът ще бъде същият.
Следващата процедура за изчисляване на полинома на Александър е дадена от J. W. Alexander в неговата статия.
Вземете диаграма на ориентиран възел сnпресечни точки. Имаn+ 2 области на диаграмата. За да получим полинома на Александър, първо конструираме матрица на инцидентност с размер (n,n+ 2).nредове съответстват наnпресечки, аn+ 2 колони съответстват на региони. Стойностите на матричните елементи ще бъдат 0, 1, −1,t, −t.
Помислете за матричен елемент, съответстващ на някаква област и пресечна точка. Ако регионът не е в съседство с пресечната точка, елементът е 0. Ако регионът е в непосредствена близост до пресечната точка, стойността на елемента зависи от позицията. Фигурата вдясно показва стойността на елементите в матрицата за пресичане (долната част на възела е маркирана с посоката на обхождане, за горната посоката няма значение). Следната таблица задава стойностите на елементите в зависимост от позицията на зоната спрямо основната линия.
наляво преди пресечката: −tточно преди пресечката: 1 наляво след пресечката:tнадясно след пресечката: −1
Полиномът на Александър може да се изчисли от матрицата на Seifert [en] .
Нека построим полинома на Александър за трилистника. Фигурата показва областите (A0, A1, A2, A3, A4) и пресечните точки (P1, P2, P3), както и стойностите на записите в таблицата (близо до пресечните точки).
Масата на Александър за трилистника ще приеме формата:
и приема стойност 1, модул едно: ΔK ( 1 ) = ± 1 (1)=\pm 1> .
Известно е, че всеки полином на Лоран с цели коефициенти, който е симетричен и има модул 1 в точка 1, е полином на Александър за възел [3] .
Тъй като идеалът на Александър е главен, Δ K (t) = 1 (t)=1> ако и само ако комутаторът на групата възли е равен на собствения му комутатор [en] .
Двойният род на възела е ограничен отдолу от степента на полинома на Александър.
Майкъл Фридман доказа, че възел на 3-сфера е топологично пресечен, т.е. границите на „локално плосък“ топологичен диск на 4-топка, ако полиномът на Александър на възела е тривиален [4] .
Кауфман [5] описва конструкцията на полинома на Александър чрез сумите от състояния на физическите модели. Преглед на този подход, както и други връзки към физиката, е даден в статията на Кауфман (Kauffman, 2001).
Има и други връзки с повърхности и гладка 4-измерна топология. Например, при определени предположения, има начин да се трансформира гладко 4-многообразие [en] с помощта на операция, която се състои в премахване на двумерния тор и замяната му с пресечната точка на допълнението на възела сS1 . Резултатът е гладко 4-многообразие, хомеоморфно на оригиналното, въпреки че инвариантът на Seiberg-Witten [en] се променя (умножава се по полинома на Александър възел) [6] .
Знае сече възлите със симетрия имат ограничени полиноми на Александър. Вижте раздела за симетрията в работата на Каваучи [3] . Въпреки това полиномът на Александър може да пропусне някои симетрии, като например силна обратимост.
Александър показа, че полиномът на Александър удовлетворява отношението на чиле. Джон Конуей по-късно преоткри това в различна форма и показа, че отношението на чиле, заедно с избора на стойност при тривиален възел, е достатъчно, за да дефинира полином. Версията на Конуей е полином вzс цели коефициенти, означен с ∇ ( z ) и нареченполином на Александър-Конуей(и същополином на Конуейилиполином на Конуей-Александър).
Разгледайте три диаграми на ориентирани връзки L + , L − , L 0 ,L_,L_> .