Положително определена матрица, Виртуална лаборатория Wiki, FANDOM, поддържан от Wikia

В линейната алгебраположително определена матрицае ермитова матрица, която в много отношения е аналогична на положително реално число. Това понятие е тясно свързано с положително-определената симетрична билинейна форма (или сесквилинейна форма в случай на комплексни числа).

Редактиране на текста

Нека $ M $ е ермитова матрица с размерност $ n \times n $ . Означете транспонирания вектор $ a $ с $ a^ $ , а спрегнатия транспониран вектор с $ a^ $ .

Матрица $ M $ еположително определена, ако удовлетворява някой от следните еквивалентни критерии:

1.	За всички ненулеви комплексни вектори $ z \in \mathbb^n $ , $ \textbf^ M \textbf > 0,$

Обърнете внимание, че $ z^ M z $ винаги е реално, тъй като $ M $ е ермитова матрица.

2.Всички собствени стойности на $ M $ , $ \lambda_i, i = 1, 2, \dots, n $ , са положителни. Припомнете си, че всяка ермитова матрица, чрез теоремата за спектрално разлагане, може да бъде представена катореалнадиагонална матрица $ D $, преведена в друга координатна система (т.е. $ M = P^DP $ , където $ P $ е унитарна матрица, чиито редове са ортонормални собствени вектори $ M $ , образуващи база). По тази дефиниция $ M $ е положително-определена матрица, ако всички елементи на главния диагонал $ D $ (или, с други думи, собствените стойности на $ M $ ) са положителни. Тоест, в база, състояща се от собствени вектори $ M $, действието на $ M $ върху вектора $ z \in \mathbb^n $ е еквивалентно на умножение по компоненти на $ z $ с положителен вектор.3.Полулинейна форма $ \langle \textbf,\textbf\rangle = \textbf^ M \textbf $

дефинира вътрешния продукт в $ \mathbb^n $ . Обобщавайки горното, всеки вътрешен продукт в $ \mathbb^n $ се образува от ермитова положително определена матрица.

4.$ M $ - Грам матрица, образувана от набор от линейно независими вектори $ \textbf_1,\ldots,\textbf_n \in \mathbb^k $

за някои $k$. С други думи, елементите на $M$ се дефинират по следния начин

$ M_ = \langle \textbf_i, \textbf_j\rangle = \textbf_i^ \textbf_j. $

Така $ M = A^A $, където $ A $ е инжективна, но не непременно квадратна матрица.

5.Детерминантите на всички ъглови минори на матрици са положителни (критерий на Силвестър).

В съответствие с този критерий за положителни полуопределени матрици всички ъглови минори са неотрицателни, което обаче не е достатъчно условие една матрица да бъде положително полуопределена, както се вижда от следния пример

$ \begin 1 & 1 и усилвател 1 \\ 1 & 1 и усилвател 1 \\ 1 & 1 и усилвател 0\край. $

За реални симетрични матрици в горните свойства, пространството $ \mathbb^n $ може да бъде заменено с $ \mathbb^n $ , а спрегнатите транспонирани вектори могат да бъдат заменени с транспонирани.

Редактиране на квадратни форми

Също така е възможно да се формулира положителна определеност по отношение на квадратични форми. Нека $ K $ е полето от реални ( $ \mathbb $ ) или комплексни ( $ \mathbb $ ) числа и $ \mathbb $ е векторно пространство над $ K $ . Ермитска форма

$ B : V \times V \rightarrow K $

е двуредово картографиране, освен това спрегнатото на $ B\left(x, y\right) $ е $B\left(y, x\right) $ . За такава функция $ B $ се казва, че еположително определена, когато $ B\left(x, x\right) > 0 $ за всяко различно от нула $ x \in V $ .

Отрицателно определени, полуопределени и неопределени матрици Редактиране

Ермитова матрица $ M $ с размерност $ n \times n $ ще се наричаотрицателно определена, ако

за всички ненулеви $ x \in \mathbb^n $ (или, еквивалентно, за всички ненулеви $ x \in \mathbb^n $ ).

$ M $ ще се наричаположително полуопределеноако

за всички $ x \in \mathbb^n $ (или, еквивалентно, за всички $ \mathbb^n $ ).

$ M $ ще се наричаотрицателно полуопределеноако

за всички $ x \in \mathbb^n $ (или, еквивалентно, за всички $ \mathbb^n $ ).

По този начин една матрица ще бъде отрицателно определена, ако всички нейни собствени стойности са отрицателни, положителна полуопределена, ако всички нейни собствени стойности са неотрицателни, и отрицателна полуопределена, ако всички нейни собствени стойности са неположителни.

Една матрица $ M $ е положително полуопределена тогава и само ако е матрицата на Греъм на някакъв набор от вектори. За разлика от положително определена матрица, тези вектори не са непременно линейно независими.

За всяка матрица $ A $ важи следното: $ A^A $ е положително полуопределена и $ \operatorname\left(A\right) = \operatorname\left(A^A\right) $ . Обратното също е вярно: всяка положителна полудефинитна матрица $ M $ може да бъде изразена като $ M = A^A $ (разлагане на Холески).

Ермитова матрица, която не е нито положително, нито отрицателно полуопределена, се наричанеопределена.

Допълнителни свойства Редактиране

Въвеждаме обозначението $ M \succeq 0 $ за положително определени матрици и $ M \succ 0 $ за положително определени матрици.

За произволни квадратни матрици $ M, N $ ще пишем $ M \succeq N $, ако $ M - N \succeq 0 $ , т.е. $ M - N $ е положителна полуопределена матрица. Така релацията $ \succeq $ дефинира частичен ред върху набора от квадратни матрици. По подобен начин може да се дефинира общото отношение на реда $ M \succ N $.

Всяка положително определена матрица е обратима, а нейната обратна матрица също е положително определена. Ако $ M \succeq N \succ 0 $ , тогава $ N^ \succeq M^ \succ 0 $ .

2.Ако $ M $ е положително определена матрица и $ 0 , тогава $ r \cdot M $ е положително определена матрица.

Ако $ M $ и $ N $ са положително определени матрици, тогава тяхната сума $ M + N $ и продуктите на $ MNM $ и $ NMN $ също са положително определени. Ако $ M N = N M $, тогава $ M N $ също е положително определено.

3.Ако $ M $ е положително определена матрица, тогава елементите на главния диагонал $ m_ $ са положителни. Следователно $ \operatorname\left(M\right) > $0. Освен това, $ m_ \leq \sqrt m_> \leq \frac+m_> $ .4.$ M $ е положително определена матрица тогава и само ако съществува положително определена $ B \succ 0 $ такава, че $ B^2 = M $ . Означаваме $B = M^> $ . Такава матрица $ B $ е уникална, при условие че $ B \succ 0 $ . Ако $ M \succ N \succ 0 $ , тогава $ M^> > N^>>0 $ .5.Ако $ M $ и $ N $ са положително определени матрици, тогава $ M\otimes N \succ 0 $ (където $ \otimes $ означава произведението на Кронекер).6.Ако $ M $ и $ N $ са положително определени матрици, тогава $ M\circ N \succ 0 $ (където $ \circ $ означава произведението на Адамар). Когато $ M,N $ са реални матрици, следното неравенство също е в сила (неравенството на Опенхайм):

$ \det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_m_ $ .

7.Ако $ M $ е положително определена матрица и $ N $ е ермитова матрица и $ MN + NM \succeq 0 $ $ \left( MN+NM \succ 0 \right) $ , тогава $ N \succeq 0 $ $ \left( N \succeq 0 \right) $ .8.Ако $ M $ и $ N $ са положително полуопределени реални матрици, тогава $ \operatorname\left(MN\right)\succeq 0 $ .9.Ако $ M $ е положително определена реална матрица, тогава съществува число $ \delta>0 $ такова, че $ M\succeq \delta I $, където $ I $ е матрицата на идентичност.

Неермитови матрици Редактиране

Реалните несиметрични матрици могат също да удовлетворяват неравенството $ x^T M x > 0 $ за всички ненулеви реални вектори $ x $. Такава е например матрицата

тъй като за всички ненулеви реални вектори $ x = (x_1, x_2)^T $

$ \begin x_1 & x_2 \end \begin 1 & 1 \\ -1 & 1 \end \begin x_1 \\ x_2 \end = x_1^2 + x_2^2 > 0 . $

За да обобщим, $ x^T M x > 0 $ за всички ненулеви реални вектори $ x $ ако и само ако симетричната част $ \frac $ е положително определена.

За комплексни матрици има няколко обобщения на неравенството $ x^ M x > $0. Ако $ x^ M x > 0 $ за всички ненулеви комплексни вектори $ x $ , тогава матрицата $ M $ е ермитова. Тоест, ако $ x^ M x > 0 $ , тогава $ M $ е ермитово. От друга страна, $ \operatorname\left(x^Mx\вдясно) > 0 $ за всички ненулеви комплексни вектори $ x $ ако и само ако ермитовата част $ \frac> $ е положително определено.

Редактиране на литературата

• Р. А. Хорн, Ч. Р. Джонсън.Матричен анализ,Cambr > Вижте също Редактиране

---