Преобразуване на Поанкаре

Дефиницията на картата на Поанкаре гарантира, че нейните гранични набори съответстват на граничните набори на определената потокова система. Полезността на преобразуванията на Поанкаре се крие в понижаването на реда на системата и във факта, че те служат като мост между системи с непрекъснато и дискретно време.ДефиницииДефиницията на картата на Поанкаре е различна за автономни и неавтономни системи. Нека разгледаме двата случая поотделно.Картографиране на Поанкаре за неавтономни системиПрипомнете си, че периодична във времето неавтономна система от n-ти порядък с минимален период T може да бъде трансформирана в автономна система от (n + 1)-ти порядък в цилиндрично фазово пространство с помощта на трансформацията

Да разгледаме n-мерна хиперравнина

На всеки T секунди траекторията на системата пресича хиперравнината "сигма" (виж Фиг. 1)

PN се нарича картографиране на Поанкаре на неавтономната система. Индексът N показва неавтономна система и служи за разграничаване на това преобразуване от преобразуванията на Поанкаре, които се използват в автономни системи. Обърнете внимание, че за фиксирано t, ft е дифеоморфизъм и следователно Pn може да бъде представено по два начина: 1. PN показва каква стойност ще приеме x след T секунди. Това се нарича картографиране на времевото изместване T.

симулира единична траектория на интервали от T секунди, т.е.

Подобно е на стробоскопично подчертаване на точки на траектория с период T.Картографиране на Поанкаре за автономни системиНека разгледаме автономна система от n-ти ред с граничен цикъл Г, показана на Фиг.2.

Нека x* е точка от граничния цикъл и нека "сигма" е n-мерна хиперравнина, напречна на Γ в x*. Траекторията, напускаща x * след T секунди, отново ще удари точката x *на хиперравнината "сигма" (T е минималният период на граничния цикъл). Поради непрекъснатостта на потока φt според началните условия, траекториите, започващи от "сигма" в достатъчно малък околност на точката x *, след около T секунди ще пресекат "сигмата" близо до точката x *. Следователно, ft и "сигма" дефинират преобразуване на PA в някакъв квартал U на точката x * към друг квартал U на точката x *. PA е картографирането на Поанкаре на автономната система.

Забележки:1. PA се дефинира локално, тоест в съседство на x * . За разлика от неавтономния случай, няма гаранция, че траекторията, напускаща точката на "сигма", ще пресече отново "сигма".

2. За евклидовото фазово пространство точката PA(x) не е първата точка, в която потокът ft пресича "сигма"; φt(x) трябва да премине през "сигма" поне още веднъж, преди да се върне към U. Това също е различно от цилиндричното фазово пространство на фиг.1.

3. PA е дифеоморфизъм и следователно е обратим и диференцируем.

Току-що дадената дефиниция на картата на Поанкаре е стандартна дефиниция, взета от теорията на динамичните системи, но рядко се използва в числени симулации, тъй като изисква предварително познаване на позицията на граничния цикъл. На практика се избира (n-1)-мерна "сигма" хиперравнина, която разделя R N на две области:

където h е вектор, нормален към "сигма", а x е някаква точка, лежаща на хиперравнината, и

- скаларно произведение. Ако "сигма" е избрана правилно, тогава наблюдаваната траектория ще пресича отново "сигма", преминавайки от "сигма-" към "сигма+" и след това обратно и т.н., както е показано на фиг.3.

За дадена "сигма" хиперравнина, триразлични преобразувания на Поанкаре:

P+: P+(x) е точката, в която ft(x) пресича "сигма" за първи път в положителна посока, т.е.

P-: P-(x) е точката, където ft(x) пресича "сигма" за първи път в отрицателна посока, т.е.

P+-: P+-(x) е първата точка, където φt(x) пресича "сигма" във всяка посока при t>0. P+ и P- се наричат едностранни преобразувания на Поанкаре, докато P+- се наричат двустранни преобразувания на Поанкаре. Обърнете внимание, че точката, в която траекторията докосва хиперравнината, т.е. x към "сигма", за което

удовлетворява критериите за всяко от трите преобразувания.

За някое от тези съпоставяния няма гаранция, че е добре дефинирано, тъй като φt(x) може никога да не пресича "сигма" за t>0. За система с евклидово фазово пространство, която не клони към равновесно състояние, винаги може да се избере хиперравнина, за която и трите карти са добре дефинирани. Това твърдение не е вярно за система с неевклидово фазово пространство.

Като пример, разгледайте картографирането на Поанкаре на неавтономна система. Тъй като траекторията винаги пресича "сигмата" в една и съща посока, едно от едностранните преобразувания на Поанкаре е недефинирано; дали е P+ или P- зависи от избора на нормалния вектор h.

Ако едно от съпоставянията е добре дефинирано, непрекъснатостта и следователно диференцируемостта все още не е гарантирана; обаче, ако f е напречно на "сигма" при x и при P(x), тогава картата е локално диференцируема.

Преобразуването PA е свързано с трите преобразувания, дефинирани по-горе, както следва. В евклидовото фазово пространство траектория, започваща от фиксирана точка x, може да пресича „сигма“ повече от веднъж предиотколкото се връща в x * . Нека има k пресечки, включително крайното връщане към x * и приемем, че всички пресечки са напречни. Тогава PA е еквивалентен на картографирането P+, приложено k пъти, тоест PA(x)=P+- k (x). Забележете, че в евклидовото пространство k винаги ще бъде четно и следователно PA ще бъде еквивалентно на k/2 приложения на P+ или P-; дали се прилага P+ или P- зависи от това дали f(x * ) е насочен към "sigma+" или "sigma-".Гранични множества на преобразувания на ПоанкареНека разгледаме връзката между граничните множества на преобразувания на Поанкаре и граничните множества на началните потоци. С изключение на специално уговорените случаи, дискусията ще се отнася до устойчивите пределни множества на системи в евклидовото фазово пространство.Точки на равновесиеНяма граничен набор от картата на Поанкаре, съответстваща на точка на равновесие.Периодични решенияЩе обсъдим отделно автономните и неавтономните случаи, но първо даваме две дефиниции. x * - е фиксирана точка на преобразуването P, ако x * =P(x *). Набор 1. x * K> - е затворена орбита на период K на преобразуване P, ако x * k+1= P k , където k=1. K-1 и x * 1=P * K.Неавтономни системиРешението за период едно на система с непрекъснато време съответства на фиксирана точка x * от картата на Поанкаре PN. Субхармоникът от K-ти ред съответства на затворена орбита с период K1. x*k> Преобразуване на Поанкаре. Забележка: Картографирането на Поанкаре "замразява" всеки периодичен компонент на решението, който има период, съизмерим с периода на движещата сила. Това действие е подобно на стробоскопичното осветяване на образната точка.Автономни системиPA: граничният цикъл на потока φt съответства на фиксираната точка x * на преобразуващия PA.

Затворена орбита на период K на картографирането PA показва субхармонично решение на първоначалния поток. Спомнете си, че трябва да внимавате, когато използвате термина "субхармонично решение" в автономни системи. По-специално, ако минималният период на цикъла G е T, тогава минималният период на субхармоника от K-ти ред ще бъде близо до, но обикновено не е равен на KT, тъй като, за разлика от картата на Поанкаре за неавтономни системи PA, той се определя от условието на пресичане, а не от времевите условия. Така че времето за връщане при x* е T, но времето за връщане за точка близо до x* е близко, но обикновено не е T.

P+, P- и P+-: За тези преобразувания класификацията на граничните цикли не е уникална, тъй като граничният набор на преобразуването на Поанкаре зависи от позицията на секущата "сигма" хиперравнина. По-специално, за даден граничен цикъл на първоначалния поток, различен избор на "сигма" може да доведе до появата на затворени орбити от различен порядък (фиг. 4).

Най-общото твърдение, което може да се направи е, че затворената орбита на една от тези карти на Поанкаре съответства на граничния цикъл на първоначалния поток. В евклидовото фазово пространство, ако граничният цикъл пресича "сигма" напречно при всяко пресичане, тогава редът на съответната затворена орбита на P+ е равен на реда на съответната затворена орбита на P- и е половината от реда на съответната затворена орбита на P+-. Почти всяко смущение на "сигма" хиперповърхността води до изчезване на ненапречни пресичания (докосвания). Обобщавайки, можем да кажем, че всички затворени орбити на картата P+- са от четен ред.