Сферична тригонометрия
Сферичната тригонометрияе клон на тригонометрията, който изучава връзките между ъглите и дължините на страните на сферични триъгълници. Използва се за решаване на различни геодезически и астрономически задачи.
Съдържание
Основите на сферичната тригонометрия са положени от гръцкия математик и астроном Хипарх през 2 век пр.н.е. д. Важен принос за неговото развитие са направили такива древни учени като Менелай от Александрия и Клавдий Птолемей. Сферичната тригонометрия на древните гърци се основава на приложението на теоремата на Менелай към пълен четириъгълник върху сфера. Древногръцките математици излагат условието на теоремата на Менелай не на езика на съотношенията на синусите, а на езика на съотношенията на акордите. За извършване на необходимите изчисления бяха използвани таблици на акорди, подобни на следващите таблици на синуси.
Като независима дисциплина сферичната тригонометрия се формира в трудовете на средновековните математици от ислямските страни. Най-голям принос за неговото развитие през тази епоха имат учени като Сабит ибн Кора, Ибн Ирак, Кушяр ибн Лабан, Абу-л-Вафа, ал-Бируни, Джабир ибн Афлах, ал-Джаяни, Насир ад-Дин ат-Туси. В техните трудове са въведени основните тригонометрични функции, са формулирани и доказани сферичната синусова теорема и редица други теореми, използвани в астрономическите и геодезическите изчисления, въведена е концепцията за полярен триъгълник, което позволява да се изчислят страните на сферичен триъгълник от трите му дадени ъгъла.
Историята на сферичната тригонометрия в Европа е свързана с трудовете на учени като Региомонтан, Николай Коперник, Франческо Мавролико.
Нека означим страните на сферичния триъгълник катоa,b,c, а противоположните на тези страни ъгли катоA,B,C. Страната на сферичен триъгълник е равна на ъгъла между двата лъчаизлизаща от центъра на сферата към съответните краища на страната на триъгълника. За радианова мярка на ъгъл:
Когато използвате ъгъл вместо дължина на дъга за измерване на страните на сферичен триъгълник, формулите са опростени - тогава те не включват радиуса на сферата. Същото се прави например в сферичната астрономия, където радиусът на небесната сфера няма значение.
Теореми за правоъгълен сферичен триъгълник
Нека ъгълCе прав ъгъл. Тогава важат следните отношения:
Теореми за произволен сферичен триъгълник
Първата и втората сферична косинусова теорема са двойствени една на друга. Сферичната синусова теорема е двойствена на себе си.
Тези две формули също са двойствени една на друга.
Познаването на формулите на сферичната тригонометрия е необходимо при решаването на такива проблеми като например преобразуване на координати от една небесна координатна система в друга, изчисляване на дължината на централния меридиан на планета в Слънчевата система, маркиране на слънчев часовник и точно насочване на сателитна антена ("чиния") към желания спътник за приемане на сателитни телевизионни канали.