случаен набор
Има различни дефиниции на понятието. Случаен набор в зависимост от структурата на набора от стойности. По този начин, ако \mathcal е топологично пространство, тогава измеримостта се разбира в смисъла на Борел. Най-честите случаи са:
- \mathcal=\mathcal е топологично пространство от затворени множества (на някакво топологично пространство S , наречено базово пространство), тогава случайно множество е произволно затворено множество;
- \mathcal=\mathcal е топологично пространство от отворени множества, тогава S.m. има случаен отворен набор;
- \mathcal=\mathcal — топологично пространство на двойки (вътрешност на множество, затваряне на множество); тук се стига до така наречените произволни физически различни множества [1]
- \mathcal=\mathcal е топологично пространство от компактни множества; в този случай се получава произволно компактно множество;
- \mathcal=(\mathcal) — подпространство от изпъкнали елементи на \mathcal, като по този начин се получава случаен изпъкнал набор.
За да се уточни разпределението на произволно затворено множество, се използва придружаващ функционал, по отношение на който е удобно да се опишат много свойства на произволно множество. Теорията на случайните отворени, компактни и физически различни множества се получава от теорията на случайните затворени множества с помощта на стандартни преформулировки.
За да се решат някои проблеми, е достатъчно да се използват стойностите на придружаващия функционал върху крайни множества - така нареченият закон за разпределение на точките на случаен набор, който в общия случай не определя еднозначно разпределението на случаен набор. Съществува обаче клас от разделими произволни множества, за които точковият закон напълно дефинира разпределението: това е произволно множество K със свойствотоK = \overline , където D е изброимо и навсякъде плътно в S .
Важни специални класове случайни множества са случайни безкрайно делими множества, произволни гаусови множества, произволни изотропни множества, произволни полумарковски множества, произволни стационарни множества, произволни стабилни множества.
Има и други начини за дефиниране на случаен набор, които не изискват предварителна (базова) топология; най-важните от тях: методът на Кендъл, основан на концепцията за „капани“ [2] ; метод на редукция до произволни функции (например опорни функции в случай на изпъкналост на множества); метод, използващ метриката на Колмогоров-Хаминг (мярка за симетричната разлика на множества).
Най-разработените раздели от теорията на S.m. са гранични теореми за случайни множества, както и различни дефиниции и методи за изчисляване на числени характеристики и характеристики на множество на разпределения S.m. (Средни комплекти, зададена средна стойност, зададена медиана, зададена очаквана стойност и т.н.).