Tensor, Math, FANDOM, захранван от Wikia

Тензоре обект на линейна алгебра. Специални случаи на тензори са скалари, вектори и билинейни форми. Тензорното смятане е изследване на тензорите.

Често тензорът се представя като многомерна таблица $ d\times d\times \cdots \times d $ (броят на факторите съвпада с валентността на тензора и тяхната стойност съвпада с размерността на основното пространство), изпълнена с числа (тензорни компоненти). Такова представяне е възможно само след избор на основа (или координатна система), когато основата се промени, компонентите на тензора се променят по определен начин, докато самият тензор не зависи от избора на основа (това вече може да се види на примера на вектор).

Дефиниции Редактиране

Съвременна дефиниция Редактиране

Ранг тензор $ (n,\ m) $ над $ d $ -мерно векторно пространство $ V $ е елемент от тензорното произведение на $ m $ пространства $ V $ и $ n $ спрегнати пространства $ V^* $ (т.е. пространства на линейни функционали (1-форми) върху $ V $ )

Сумата от числата $ n+m $ се наричавалентностна тензора. Ранг тензорът $(n,\ m)$ се нарича още $ n $ пътиковариантени $ m $ пътиконтравариантен.

Тензорът като полилинейна функция Редактиране

Точно както ковариантен тензор от ранг (1,0) може да бъде представен като линеен функционал, удобно е да мислим за тензор $ \Tau $ от ранг $ (n, 0) $ като функция $ \tau(v_1,v_2,\dots,v_n) $ отnвекторни аргументи $ v_i\in V $ , която е линейна във всеки аргумент $ v_i $ (такива функции се наричат ​​мултилинейни), т.е. за всяка константаcот полетоF(над което е дефинирано векторното пространство)

Тензорни компоненти Редактиране

В пространствотоVизбираме базис $ \_1, \mathbf_2,\dots,\mathbf_d\> $ и съответно $ \^1,\mathbf^2,\точки,\mathbf^d\> $ е двойственият базис в дуалното пространство на $ V^* $ (т.е. $ (\mathbf_a \cdot \mathbf^b) = \delta_a^b $, където $ \delta_a^b $ е символът на Кронекер). След това основата

$ \< \mathbf_\,\otimes\, \mathbf_\,\otimes\, \dots\, \mathbf_\,\otimes\, \mathbf^\,\otimes\, \mathbf^\,\otimes\, \dots\, \mathbf^ \> $ , $ 1\le i_a,\ j_b \le d $ .

Ако дефинираме тензор като многолинейна функция, тогава неговите компоненти се определят от стойностите на тази функция на база $ \Tau^m_n(V) $:

След това тензорът може да бъде написан като линейна комбинация от продуктите на базисния тензор:

Долните индексикомпонентитена тензора се наричат ​​ковариантни, а горните индекси се наричат ​​контравариантни. Например, разлагането на някой двойно ковариантен тензорhще бъде както следва:

$ h = \sum_ h_ \mathbf^j \otimes \mathbf^k $

Относно класическото определение Редактиране

Класическият подход за дефиниране на тензор, който е по-често срещан в литературата по физика, започва с представяне на тензорите по отношение на компоненти. Тензорът се дефинира като геометричен обект, който е описан от многоизмерен масив. Вектор се определя от едномерен масив, докато обекти като линеен оператор и квадратна форма се определят от двумерна матрица. Пример за тензор с четириизмерен масив е тензорът на кривината на Риман. Скаларите могат да се разглеждат като нулевомерни масиви с един елемент.

Стойностите на числата в масива иликомпонентите на тензоразависят от координатната система, но самият тензор, катогеометрична единица, не зависи от тях. Много неща могат да се разбират като геометрична единица: различни скаларни инварианти,симетрия/антисиметрия на индекси, отношения между тензори и др. Например, скаларното произведение и дължината на векторите не се променят, когато осите се въртят, а метричният тензор винаги остава симетричен.

При промяна на координатната система компонентите на тензора се трансформират по определен (линеен) закон. Познавайки компонентите на тензора в една система, човек винаги може да изчисли неговите компоненти в друга, ако е дадена матрицата на трансформация на системата. Така вторият подход може да се обобщи като формула:

тензор = масив от компоненти + закон за трансформация на компонентите при промяна на базиса Тензор/рамка

Примери Редактиране

  • Тензор с нулев ранг е скалар;
  • Веднъж контравариантен тензор (с ранг (0,1)) е просто елемент от пространствотоV, тоест вектор;
  • Ранг тензорът (1,0) е ковектор (ковариантен вектор), т.е. елемент от пространството $ V^* $ (или линеен функционал върху $ V $ , 1-форма);
  • Ранг тензорът (2,0) е билинейна форма, като метричния тензор $g_$
  • Ранг тензорът (1,1) е линейният оператор $ A:\,V\to V $ или $ A:\,V^*\to V^* $
  • Обемната форма на $n$ -мерно линейно пространство е пример за антисиметричен тензор с ранг $(0,n)$ (или $n$ пъти ковариант)

Тензорни операции Редактиране

Тензорите позволяват следните алгебрични операции:

  • Умножението със скала е като всеки вектор;
  • Събиране на тензори с еднаква валентност и състав на индекси - като вектори;
  • Умножението по скалар и добавянето на тензори превръщат пространството от тензори от един и същи тип в линейно пространство.
  • Тензорното сгъване е специфична тензорна операция, която понижава валентността на тензора.
  • симетризация -конструиране на симетричен тензор от същия тип.
  • Антисиметризацията е конструирането на антисиметричен тензор от същия тип.
  • Тензорното произведение е неограничено. Произведението на ранговия тензор $ (m,n) $ и ранговия тензор $ (m',n') $ е общият рангов тензор $ (m+m',n+n') $, т.е. ако $ \sigma\in T^m_n $ и $ \tau \in T^_ $, тогава техният продукт $ \sigma\otimes\tau\in T^_=T^_n\otimes T^_ $

    • Редактиране на симетрии

    В различни приложения често възникват тензори с определено свойство на симетрия.

    Тензорът се нарича симетричен по отношение на два ко-(контра-)вариантни индекса, ако отговаря на следното изискване:

    или в компоненти

    Косата симетрия (или антисиметрия) се дефинира по подобен начин:

    или в компоненти

    Симетрията или антисиметрията не трябва да обхваща само съседни индекси, тя може да включва и индекси от различни места на тензора. Основното условие е, че симетрията или антисиметрията могат да се прилагат само към индекси от същия вид: ко- или контравариантни. Симетриите с евентуално ко- и контравариантни индекси на тензори нямат смисъл, тъй като дори и да се наблюдават в компонентите, те се унищожават при преминаване към друга референтна база.

    Тези определения естествено се обобщават за случая на повече от два индекса. В същото време, за всяка пермутация на индексите, по отношение на които тензорът е симетричен, неговото действие не се променя, а с антисиметрия по отношение на индексите, знакът на действието на тензора се променя на противоположния за нечетни пермутации (получени от първоначалната позиция на индексите чрез нечетен брой транспозиции - пермутации на два индекса) и се запазва за четни пермутации.