Теорема на Поанкаре-Перелман
Тази година в математиката има две кръгли и взаимосвързани дати – 100 години от хипотезата на Поанкаре и 10 години от доказателството на Перелман. Моят разказ е посветен на тези две дати. Освен това министър-председателят смята за приоритет развитието на математиката.
Първа част. В топологично море.
Нека се отдръпнем от твърдия бряг на здравия разум и да отидем в океана на топологията.
И защо е необходимо да се отдалечим от здравия разум? И какво да правим с него в топологичния океан? Вижте сами. Какво е общото между затворената брава на хамбара и водопроводната тръба? И от гледна точка на топологията те са неразличими. Топологично погледнато, те са хомеоморфни. Това са два тора. Тоест в средата ще има дупка. И чайникът, затворен с капак, с футболна топка също е неразличим. Това са две области. Самите тополози обаче смятат, че всичко е просто. Сферата е единично свързана. Чрез хвърляне на нишка върху повърхността на сфера (математикът ще каже: - чрез начертаване на крива), чрез топологични трансформации, може да се трансформира (свърже) в една точка. Но няма да работи с Тор.
Оказва се, че ако повърхността е просто свързана, тогава тя може да се трансформира в сфера. Но това е в познатия ни триизмерен свят. И великият математикАнри Поанкаре се замисли как би било в четириизмерен свят? И предположих, че е същото. Тоест всяка просто свързана 3D повърхност е геоморфна (трансформируема) в 3D сфера. Това е теоремата на Поанкаре в моята презентация. Как изглежда триизмерна сфера, която е повърхността на четириизмерна топка? Не знам как изглежда една четириизмерна топка! И не мисля, че някой знае. Въпреки това математиците, както и художниците, са силно привлечени от красотата. И от гледна точка на математиците теоремата на Поанкаре изглежда необикновено красива. Елегантен и непревземаем.
След товаУилям Търстън изложи теория, която описва всички възможни триизмерни разновидности (и четириизмерната грозота на Поанкаре). Теоремата на Поанкаре се превърна в частен случай на теорията на Търстън. Задачата беше поставена, но решението не беше дадено. Теоремата на Поанкаре измъчваше математиците като опитна кокетка. Беше доказано с голяма трудност и за пет, и за седем, и за шест измерения. Но в първоначалния вариант - за триизмерна сфера, в най-важното, тя не се отказа.
Нека си дадем почивка от топологичните разсъждения. Веднъж се срещнали американец, китаец и българин. Това не е началото на шега. Това е продължение на историята за теоремата на Поанкаре-Перелман. Американецът бешеРичард Хамилтън. Горкият не послуша нашия велик американист Михаил Задорнов. И затова не изглеждаше като глупав, дебел, алчен американец. Спортна форма, ценител на жените и хумора. Властите не се страхуват.
ИГригорий Перелман. На техния фон той изглежда като човек „не от този свят“. В опърпано сако, с дълги неподстригани нокти. И те се срещнаха, докато се състезаваха да решаваттеоремата на Поанкаре. ЗащоРичард Хамилтън не реши проблема? Ами ясно е. Това изискваше пълно усилие от него. Американецът не искаше да се пренатоварва. Но никой никога не е отричал, че той е изиграл огромна роля в доказателството на теоремата на Поанкаре. И получи награди за това. Но с китайците е по-трудно. Яу вървеше към победата упорито и упорито. Проваля ли се? Да намерим талантлив ученик. Не се справяме. Нека добавим още един. За щастие, в милиарден Китай, Яу може да избере най-доброто от най-доброто. Кой ще откаже да живее и работи в Америка и да бъде почитан у дома? Имате ли нужда от потоци на Ричи, за да разрешите проблема, поставен от Поанкаре? Кой е най-добрият в този бизнес? Ричард Хамилтън? Нека очароваме! Изпращаме до Китайсравнете го с Мао. В същото време Яу беше готов на всичко, само част от приоритета беше с Китай. През 2006 г., запазвайки приоритета на учениците си над Перелман, той отиде твърде далеч. Но той постави на карта репутацията си. И изгубен. Но защо!? За да подчертаем решението, просто в своята гениалност, благодарение на коетоГригори Перелман спечели срещу този китайско-американски отбор, е необходимо да се върнем към топологията.
Вземете обикновен малък чайник. И ние ще го трансформираме в сфера. Но нека го направим по-трудно. Когато се преобразува, той едновременно ще промени отразяващата способност на повърхността си. Да приемем, че в резултат на навлизане в топологичните уравнения на уравнения от оптиката е възникнала сингулярност на чучура на чайника. Тоест, казано неофициално, чучурът на чайника е станал безкрайно голям. Как изглежда? Не е представен. Малък чайник, но чучурът му е по-голям не само от Слънцето, но и от цялата видима Вселена. Основното е, че операциите не могат да се извършват с такъв чайник. Това не означава, че ако сме направили чай на Земята, ще трябва да го пием в най-отдалечената черна дупка на Вселената. Това означава, че както увеличаването, така и намаляването на безкрайността е трудно. Съответно, няма да работи и за продължаване на трансформацията на чайника в правилната сфера.
И с трансформациите, необходими за доказване на теоремата на Поанкаре, сингулярностите постоянно изпълзяваха. Екипът на Yau търси отново и отново нови варианти на нишките на Ritchie, за да заобиколи проблема. Ами ако чайникът има безкрайно голям чучур? Няма гости за покана, няма теорема за доказване. "Отрязвам!" — предложи си Перелман. И той създаде нов вид потоци на Ричи. Ричи тече с операция. Приказката бързо въздейства, но работата не става бързо. Дори проверката на правилността на доказателството на Перелман взе математицитеняколко години. Тъй като Перелман доказва и теорията на Тестон, чийто специален случай е теоремата на Поанкаре.
Прилагането на математическите постижения на Г. Перелман във физиката.
Възниква въпросът: "Толкова ли са важни тези трудновъобразими топологични постижения?"
Приложенията на доказателството на теоремата на Поанкаре-Перелман с помощта на потоци на Ричи с операция, като специален случай на теорията на Търстън, разбира се, са много повече, отколкото ми се струва. Но все пак ще си позволя да предложа три такива приложения.
1. От гледна точка на разбирането на космоса.
„…стандартният модел води до основната функция -Големият взрив. Това заключение е наречено "най-голямата криза във физиката " от Джон Уилър.Иван Пригожин. Първични необратими процеси. Тази криза обаче се състои от много независими кризи, всяка от които възпрепятства изграждането на последователна картина на появата на видимата Вселена от точката на Големия взрив. Един от най-важните проблеми беше несъответствието между математическите модели на разширяването след Големия взрив и наблюдаваната Вселена. Ясно е, че разширяването на такава маса материя с такава скорост за толкова кратко време, което се свързва с хипотезата за Големия взрив, не може да се случи без определени нередности, които само ще нарастват с хода на процеса. Астрономите обаче не виждат подобни нередности. Видимата вселена, започвайки от измерението 100 Mpc, е хомогенна по плътност на материята. И изотропен: тоест има еднакви свойства във всички посоки. Въпреки това, използването на математическия апарат, създаден от Г. Перелман - "потоци на Ричи с операция" ви позволява математически да обосновете този процес.
2. "Теория на всичко" в нейното "суперструнно" изпълнение.
Сол, веднъжвъзразявайки ми, той каза, че изказването срещу "Теорията на всичко " е ненаучно. Още по-интересно е, че без теоремата на Поанкаре-Перелмантеорията на суперструните виси във въздуха. Факт е, че тази теория, както и нейното развитие "М-теория", предполагат наличието на подпространства. Без пълно доказателство, направено от Г. Перелман, беше топологично неясно как се осъществява преходът от нашия свят към тези многобройни измерения (в различни версии се приемат 10 или 11 измерения).
3. Проблемът с котката на Шрьодингер
Според принципите на квантовата механика ние живеем във вероятностен свят. Въпреки ожесточения дебат, чиито основатели саАлберт Айнщайн иНилс Бор, проблемът все още стои на дневен ред. Най-образно е изразено отЕ. Шрьодингер в неговия най-известен квантов обект "Котката на Шрьодингер ". Освен всичко друго, не е ясно как този процес се случва пространствено, тоест от гледна точка на топологията. Когато в макрокосмоса се реализират квантови състояния, огромен брой системи взаимодействат, свързани помежду си без прекъсвания в геометричната цялост. Тук "малките неща" на топологичния процес са много важни, които не могат да бъдат обяснени без разбиране натеоремата на Поанкаре-Перелман. Трябва също да се отбележи, че решенията, открити от Г. Перелман, са особено важни. Дори ако някой намери по-просто и по-елегантно решение на теоремата, все пак ще бъде важно за физиката да се реши с помощта на „потоците на Ричи с операция“.
УважаемиДенис, благодаря за вниманието към сайта.
Въпреки факта, че в момента регистрацията в сайтаЛаборатория за космически изследвания минава само през администратора на сайта, тя остава възможна презКонтакт.
Уважаема Елена Бабенко!