Теорема за добавяне за вероятностите от несъвместими събития
От израз (3.4) може да се получи формула за вероятността за произведението на две събития. Наистина ли:
ПРИМЕР 3: Хвърлят се два зара. Каква е вероятността да имаш поне една шестица?
РЕШЕНИЕ: Да обозначим събитията: появата на шестицата на първия зар, на втория зар. Ясно е, че тези събития са съвместни, т.е. шестицата може да падне както на първия, така и на втория зар.
- За изчисления използваме формула (3.4). Тук обаче възникна трудност, как да се изчисли вероятността на продукт, т.е. вероятността шестици да бъдат хвърлени на всеки от двата зара. Според класическата вероятностна формула броят на "успешните" комбинации е 1, а броят на всички еднакво възможни комбинации се изчислява по правилото за произведение (комбинаторика):
- Помислете за друг начин за решаване, като използвате следствието от закона за събиране на вероятностите:
Независимост на събитията
Преди да представим теоремата за умножение на вероятностите, въвеждаме една важна концепция: концепцията за зависимите и независимите събития.
Едно събитие се нарича независимо от събитието, ако вероятността за събитието не зависи от това дали събитието се е случило или не.
Казва се, че едно събитие зависи от събитието, ако вероятността за събитието варира в зависимост от това дали събитието се е случило или не.
ПРИМЕР 4: Хвърлят се 2 монети. Помислете за събитията:
появата на герба на първата монета;
появата на герба на втората монета.
РЕШЕНИЕ: Очевидно събитието не зависи от това дали събитието се е случило или не. Събитието е независимо от събитието.
ПРИМЕР 5: В урна има две бели топки и една черна топка. Двама души последователно изваждат по една топка, без да ги връщат в урната. Помислете за събитията:
появата на бяла топка от първо лице,
¶появата на бяла топка във второ лице.
РЕШЕНИЕ: Вероятността за събитието е 2/3. Ако стане известно, че събитието се е случило, тогава в урната остават две топки, от които само едната е бяла. Тогава вероятността за събитието става равна на 1/2. От това заключаваме, че събитието зависи от събитието.
Вероятността за събитие, изчислена при условие, че се е случило друго събитие, се нарича условна вероятност за събитието и се означава с : .
Сега условието за зависимост/независимост на събитието може да бъде изразено математически. Ако съотношението
вярно, тогава събитията се наричат независими.
Ако изразът е верен
тогава събитията се наричат зависими.
Разгледайте отново ПРИМЕР 5, това е така наречената "урнова схема". Урна (затворен контейнер) съдържа бели и черни топки. Двама души последователно изваждат една топка от урната. Ако е приложена схема без връщане, тогава събитията са зависими. Ако е реализирана схемата с връщане, след всеки експеримент топката се връща в урната, тогава събитията са независими.
Теорема за умножение на вероятностите
Теорема 3. Вероятността на произведението на две събития е равна на произведението на вероятностите на едното от тях по условната вероятност на другото, изчислена при условие, че първото се е случило:
Доказателство. Да предположим, че от всички възможни елементарни резултати събитието е благоприятно от резултати, от които резултатите благоприятстват събитието. Тогава вероятността за събитието ще бъде условната вероятност за събитието спрямо събитието е равна на
Продукт на събития и се облагодетелства само от тези резултати, които благоприятстват както събитието, така и събитието едновременно, т.е. резултати. Следователно вероятността за настъпване на събития и е равна на
Умножавайки числителя и знаменателя на тази дроб по , получаваме
По същия начин човек можеПокажи какво
Следствие 1. Ако едно събитие не зависи от събитието, тогава събитието не зависи от събитието.
Доказателство: Съгласно условието събитието не зависи от събитието , тогава, като вземем предвид (3.10), получаваме. Заменяме това уравнение във формулата (3. 12):
Така следствието е доказано.
Следствие 2. Вероятността за генериране на независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития.
Доказателство: За независими събития условните вероятности са равни на безусловните, т.е.
ПРИМЕР 6: Устройство, работещо през време t, се състои от три възела, всеки от които, независимо от другите, може да се повреди през време t. Повредата на поне един възел води до повреда на устройството. За времето t вероятността за безотказна работа на възлите е съответно равна: р 1 = 0,8, р 2 = 0,9, р 3 = 0,7. Каква е надеждността на устройството (вероятността за безотказна работа) за време t?
РЕШЕНИЕ: Обозначете събитията:
безпроблемна работа на устройството;
безпроблемна работа на първия възел;
безпроблемна работа на втория възел;
безпроблемна работа на третия възел.
Безпроблемната работа на устройството се осигурява от независимата и безпроблемна работа на всеки от трите възела, т.е.
Тогава по теоремата за умножение на вероятностите за независими събития получаваме:
ПРИМЕР 7: На проверяващите по вероятности бяха предложени 34 билета. Студентът извлича по един билет от предложените билети два пъти (без да ги връща). Каква е вероятността студентът да издържи изпита, ако е подготвил само 30 билета и е извадил "неуспешен" билет от първия път?
РЕШЕНИЕ: Тестът се състои в това, че два пъти подред се изважда един билет, като извадения за първи път билет не се връща обратно. Нека събитието "за първи път се вади "неуспешен" билет", "вади се втори път "неуспешен" билет"щастлив" билет". Очевидно е, че събитията и са зависими, тъй като билетът, извлечен за първи път, не се връща към броя на всички билети. Изисква се да се намери вероятността за събитието, като се използва формулата за умножение на вероятностите: