Теоретико-множествено значение на събирането и изваждането
Въпросът за аритметичните операции е централен в началния курс по математика. От правилното му решение зависи успехът на формирането на концепции за самите действия, техните свойства, както и уменията и способностите за изчисления.
С традиционния подход към обучението на по-младите ученици специфичният смисъл на всяко действие се разкрива в процеса на извършване на операции върху крайни множества (комбиниране на набори без общи елементи, изтриване на част от набор, комбиниране на набори от едно и също число, разлагане на даден набор на редица равни набори), което ви позволява да разчитате на житейския опит на децата и да използвате визуализация при изучаване на всички въпроси, свързани с действията.
Курсът по математика в началното училище отразява теоретико-множествения подход към интерпретацията на събирането и изваждането на неотрицателни цели числа, според който събирането се свързва с операцията обединение, изваждането с операцията събиране. [3, стр.28]
Добавянето, от гледна точка на определяне на сумата в теорията на количествените числа, е броят на елементите в обединението на непресичащи се множества A и B, така че a=n (A); b=n (B). [6, стр.265]
В програмата по математика на M.I.Moro простите текстови задачи действат като основно средство за формиране на идеи за значението на действията на добавяне и изваждане. [3, с.28] В програмата на Н.Б. Истомина се основава на изпълнението на обективни действия от учениците и тяхната интерпретация под формата на графични и символни модели.
За да обясните операцията събиране и изваждане, използвайте:
1. текстови задачи;
2. предметни модели;
3. графични модели;
4. символични модели;
Словни модели.
Възможно е условно да се разграничат три видаситуации на действие на добавяне:
1. съставяне на един предметен набор от две данни;
2. увеличение на даден предметен набор с няколко позиции;
3. увеличение с няколко обекта е еквивалентно на даден набор. [3, стр.29]
Композиране на един предметен набор от две данни.
Например, на децата се предлага картина, в която Миша и Маша пускат риба в аквариум.
Задача: „Кажи ми какво правят Миша и Маша?“
Отговори на децата: Пускат риби в един аквариум; пускат риба заедно; Миша пуска 2, а Маша -3 и т.н.
Числени изрази под снимката. Анализирайки изразите, децата намират правилния: 2+3 и 3+2.
Оказва се колко подобни и колко различни могат да бъдат разчетени тези изрази. Децата казват, че си приличат по числа и знаци. Можете да прочетете: 2 плюс 3 и да добавите 3 към 2 ум.
В резултат на това децата записват равенство, запознават се с компонентите на добавянето. След това числовите равенства се интерпретират на числовия лъч.
Увеличаване на даден предметен набор с няколко за няколко елемента
Индикация за извършване на обективни действия може да бъде задачата: „Покажи ми…“.
Например учителят предлага задача: „Коля имаше 4 печата. Дадоха му още 2. Покажи колко марки има Коля?”
Децата поставят 4 печата (кръг, квадрат, триъгълник) и показват с движение на ръката колко печата има. След това се добавят 2 марки и движението на ръката показва колко е станало. Освен това се оказва как е възможно да се запише извършеното целево действие, като се използват за тази цел числата и знакът "=" и "+": 4+2=6. Препоръчително е на този етап да използвате термините "изразяване" и "равенство".
Увеличете сняколко обекта от набор, еквивалентен на дадения.
Например, учителят дава задачата: В едната чиния има 5 ябълки, а в другата има още 3 ябълки. Покажете ми колко ябълки има във втората чиния?
В процеса на извършване на такива обективни действия учениците формират концепцията за „повече с ...“ („увеличете с ...“), идеите за които са свързани с изграждането на набор, равен на дадения („вземете същото“) и увеличаването му с няколко обекта („и повече“). [3, стр.30]
От гледна точка на теорията на множествата разликата на естествените числа a и b е броят на елементите в допълнението на множество B на множество A, ако a=n(A), b=n(B) и B е подмножество на A. [6, С.266]
При формирането на идеи за изваждане у децата може условно да се съсредоточи върху следните предметни ситуации:
Намаляване на дадения предметен набор с няколко елемента (премахнатите елементи се зачертават).
Например се предлага задача: „Маша имаше шест топки. Тя даде две на Таня. Покажи ми топките, които са й останали? Децата теглят 6 топки, задраскват 2 и показват броя на останалите топки с движение на ръката. Децата получават израза 6-2 или равенството 6-2=4.
2. Намаляване на набор, еквивалентен на даден, с няколко елемента. [3, стр.31]
В процеса на изпълнение на такива ситуации децата формират идеи за понятието „по-малко с ...“ („намали с ...“), които са свързани с изграждането на популация, еквивалентна на дадената, и намаляването й с няколко елемента. Усвояването на понятията "повече с ...", "по-малко с ..." е по-лесно за децата, ако организират дейността си с предметни и символни модели. Например: Сравнете снимки. Какво се промени отляво надясно? Какво се е променило от дясно на ляво?
3.Сравнение на две предметни множества, т.е. отговорът на въпроса: „Колко обекта в едно множество са повече (по-малко), отколкото в другото? [3, стр. 31]
В процеса на извършване на тези действия учениците формират представа за изваждането като действие, което е свързано с намаляване на броя на обектите. [3, стр.32] В резултат на това първокласникът развива представа за разликата, която може да се обобщи в правилото: „За да разберете колко едно число е повече (по-малко) от друго, трябва да извадите по-малкото число от по-голямото число.“ [3, стр.34] Например: Колко повече сърца отколкото облаци?
Формирането на изчислителни умения и способности е една от основните задачи на началния курс по математика. [3, стр. 42] Изчислителното умение е детайлно изпълнение на действие, при което всяка операция се разпознава и контролира. [3, стр. 42] За разлика от уменията, уменията се характеризират със сгънато, до голяма степен автоматизирано изпълнение на действие, с пропускане на междинни операции, когато контролът се прехвърля към крайния резултат. [3, стр.42]
В началния курс по математика учениците трябва да могат да овладеят на ниво умения:
1.таблица за събиране (изваждане) в рамките на 10;
2.таблица за събиране на едноцифрени числа с преминаване през категорията и съответните случаи на изваждане;
3.таблица за умножение и съответните случаи на деление. [3, стр.43]
Методика за запознаване на учениците със събиране и изваждане в рамките на 10
Подходът в учебника на M.I.Moro за формиране на умения за събиране и изваждане в рамките на 10 включва съзнателно съставяне на таблици и тяхното неволно или произволно запаметяване в процеса на специално организирани дейности. Съзнателното таблициране може да бъде осигурено от линията на теоретичния курс,предметни действия, методически похвати и нагледни средства. За произволно и неволно запаметяване на таблици се използва специална система от упражнения. [3, стр.43]
Таблиците за събиране и изваждане в рамките на 10 могат да бъдат грубо разделени на четири групи, всяка от които е свързана с теоретична обосновка и съответен метод на действие:
1) принципът на конструиране на естествена редица от числа - броене и броене с 1;
2) значението на събирането и изваждането е броене и броене на части;
3) комутативно свойство на добавяне - пермутация на членове;
Връзката между събиране и изваждане е правилото: ако един член се извади от стойността на сумата, тогава получаваме друг член.
При формирането на изчислителни умения в училищната практика се използват различни подходи:
a) учебни таблици;
б) познаване на различни изчислителни техники, самостоятелно съставяне на таблици, неволно запаметяване в процеса на изпълнение на упражнения;
в) след използването на предметни действия и изчислителни техники, на ученика се дава ориентация за запаметяване. [3, стр.44]
В N.B. Истомина, при изучаване на таблични случаи на събиране (изваждане), ръководството е насочено към овладяване на състава на числото.
Това се дължи на факта, че изучаването на таблицата с последователното съставяне на всяка група от добавяне (изваждане) в съответствие с избраните етапи на практика не винаги е ефективно за формирането на автоматизирани умения за добавяне и изваждане в рамките на 10.
Факт е, че докато формира уменията на табличната стойност " + 2", учителят първо фиксира вниманието на децата върху изчислителна техника, която включва операции, коитомнозинството се формират на ниво изчислителни умения (6+1+1; 7+1+1). Успоредно с това се извършва подобна работа и с делото " - 2". След това се съставят две таблици: 1+2, 2+2, 3+2 и т.н. И 3-2, 4-2, 5-2 и т.н. Учителят дава задача да научите таблицата, тоест да запомните 16 случая. [3, стр.45]